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Codifica numerica del segnale audio

differenze. Una equazione lineare alle differenze a coefficienti costanti di ordine n è un legame tra tra gli ultimi M campioni dell’ingresso e gli ultimi N dell’uscita del tipo

$\sum _{k=0}^{N}a_{k}y(n-k)=\sum _{k=0}^{M}b_{k}x(n-k)$

(A.12)

A seconda della struttura dell’equazione alle differenze, si possono distinguere tre differenti tipi di sistemi. Se N = 0 (sistema Moving Average: MA), l’equazione alle differenze si riduce a

$y(n)=\sum _{k=0}^{M}{\frac {b_{k}}{a_{0}}}x(n-k)$

(A.13)

Tale equazione non è più ricorsiva, in quanto dipende esclusivamente dall'ingresso. Confrontando tale equazione con quella di definizione della risposta impulsiva di un sistema, si nota come i coefficienti b_k/a₀ coincidano con i campioni della risposta impulsiva h(k). Posto x(n) = δ(n) si ha che la risposta impulsiva è data da

$h(n)=\sum _{k=0}^{N}{\frac {b_{k}}{a_{0}}}\delta (n-k)$

(A.14)

ed è di durata finita: il sistema è definito FTR (Finite Impulse Response). Se M = 0 (sistema Auto Regressive: AR), l’equazione alle differenze si semplifica come

$y(n)=\sum _{k=1}^{N}{\frac {a_{k}}{a_{0}}}y(n-k)+{\frac {b_{0}}{a_{0}}}x(n)$

(A.15)

A causa della retrazione dell’uscita, la risposta impulsiva del filtro è di durata finita (sistema IIR: Infinite Impulse Response). Il caso più generale è quello in cui sia M che N non sono nulli. Il sistema è quindi governato dall'equazione alle differenze

$y(n)=\sum _{k=0}^{M}{\frac {b_{k}}{a_{0}}}x(n-k)-\sum _{k=1}^{N}{\frac {a_{k}}{a_{0}}}y(n-k)$

(A.16)