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B - Metodo dei minimi quadrati ricorsivo

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nella quale si stima il campione corrente in funzione dei pesi calcolati nel passo precedente, che risulta solitamente differente dalla funzione di errore a posteriori

$e^{(n)}=x(n)-\alpha ^{(n)^{T}}x(n-1)$

(B.3)

nella quale si utilizza il vettore dei coefficienti aggiornato. Ripetendo i passi già presentati nel capitolo 5, la m inim izzazione dell’errore in funzione dei coefficienti del predittore porta al passo n-esimo all’equazione normale

$\Gamma ^{(n)}=\alpha ^{(n)}\Theta ^{(n)}$

(B.4)

che risulta formalmente identica a quella utilizzata nella derivazione delle equazioni di Wiener-Hopf, ma nelle quale è implicitamente presente il fattore di pesatura w. La matrice di autocorrelazione dell’ingresso ed il vettore di cross-correlazione tra l’ingresso e l’uscita desiderata risultano, infatti, pari a

$\Gamma ^{(n)}=\sum _{i=1}^{n}w^{n-i}x(i-1)x^{T}(i-1)$

$\Theta ^{(n)}=\sum _{i=1}^{n}w^{n-i}x(i)x^{T}(i-1)$

(B.5)

La soluzione di tale sistema è ancora dato da

$\alpha ^{(n)}=\Gamma ^{(n)^{-1}}\Theta ^{(n)}$

(B.6)

anche se, in questo caso, ne ricerca una sua soluzione ricorsiva. Per quanto riguarda la matrice di autocorrelazione, è possibile dame una definizione ricorsiva isolandone dalla definizione il termine per i = n

$\Gamma ^{(n)}=w\left[\sum _{i=0}^{(n-1)}w^{n-1-i}x(i-1)x^{T}(i-1)\right]+x(n-1)x^{T}(n-1)$

$\Gamma ^{(n)}=w\Gamma ^{(n-1)}+x(n-1)x^{T}(n-1)$

(B.7)