Pagina:Codifica numerica del segnale audio.djvu/340

322

Codifica numerica del segnale audio

$\Phi =V\ D\ V^{T}$

(C.10)

dove V è una matrice triangolare inferiore con la diagonale principale unitaria, mentre D è una matrice diagonale

$V={\begin{bmatrix}1&0&0&\ldots &0\\V_{21}&1&0&\dots &0\\V_{31}&V_{32}&1&\ldots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\V_{p1}&V_{p2}&V_{p3}&\ldots &1\end{bmatrix}};\ D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&\ldots &0\\0&d_{2}&0&\dots &0\\0&0&d_{3}&\ldots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\0&0&0&\ldots &d_{p}\end{bmatrix}}$

(C.11)

Per eseguire la fattorizzazione della matrice di covarianza si procede come segue: dato

$\Phi (i,j)=\sum _{k=1}^{j}V_{ik}\ d_{k}\ V_{jk};\ 1\leq j\leq i-1$

(C.12)

per gli elementi sulla diagonale segue

$d_{i}=\Phi (i,i)-\sum _{k=1}^{i-1}V_{ik}^{2}\ d_{k};\ i\geq 2$

(C.13)

a partire dalla condizione iniziale

$d_{1}=\varphi (1,1)$

(C.14)

mentre gli elementi della matrice V si ricavano riscrivendo l’espressione del generico elemento della matrice di covarianza isolando dalla sommatori il termine per k=j

$V_{ij}d_{j}=\Phi (i,j)\sum _{k=1}^{j-1}V_{ik}d_{k}V_{jk};\ 1\leq j\leq i-1$

$V_{ij}={\frac {\Phi (i,j)\sum _{k=1}^{j-1}V_{ik}d_{k}V_{jk}}{d_{j}}}$

(C.15)