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C - Algoritmi a blocchi per il filtraggio adattativo

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In tal modo è possibile calcolare ricorsivamente gli elementi V_ij e d_j. Una volta fattorizzata la matrice di covarianza, anche la soluzione dell’equazione normale può essere ottenuta ricorsivamente. Infatti, definendo il vettore y come

$y=D\ V^{T}\alpha$

(C.16)

risulta

$\Phi \alpha =V\ D\ V^{T}\alpha =V\ y$

$V\ y=\Psi$

(C.17)

Essendo V una matrice triangolare, gli elementi della y possono essere calcolati ricorsivamente come

$y_{1}=\Psi _{1}$

$y_{i}=\Psi _{i}-\sum _{j=1}{i-1}V_{ij}y_{j};\ p\geq i\geq 2$

(C.18)

Una volta calcolati i componenti del vettore y è possibile ricavare i coefficienti ottimi del predittore in quanto, risultando

$V^{T}\alpha =D^{-1}y$

(C.19)

Si ottengono le relazioni ricorsive

$\alpha _{i}={\frac {y_{i}}{d_{i}}}-\sum _{j=i+1}^{p}V_{ji}\alpha _{j};\ 1\leq i\leq p-1$

(C.20)

con condizioni iniziali

$\alpha _{p}={\frac {y_{p}}{d_{p}}}$

(C.21)