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i problemi della logica 111

dati (come ipotesi o come trasformazione di queste), i quali rivestono una forma affatto analoga, p. es., la forma di proposizioni. Sorge quindi la questione inversa di quella trattata innanzi, cioè, «se, in ogni caso, i rapporti logici dati fra oggetti del pensiero (sia, p. es., fra concetti), possano interpretarsi come condizioni di un processo associativo, col quale, partendo da elementi opportunamente determinati, si generino quegli oggetti».

Esaminando più da vicino la cosa, ci s’imbatte tosto in una difficoltà fondamentale: se, per ogni sistema di concetti, si cerca d’interpretare i rapporti logici come condizioni di un processo associativo a partire da elementi dati, accade talvolta che il numero di questi debba supporsi infinito.

Un semplice esempio vien porto dal considerare i primi postulati della «retta» e del «piano», coi quali s’intende di definire questi enti come «classi di punti», costruite in guisa da soddisfare a certe condizioni1.

Ora come possiamo ammettere infiniti oggetti dati al pensiero?

Finchè il senso che si accorda ad un oggetto dato, è quello di essere stato effettivamente pensato, è chiaro che un’infinità di oggetti non potrebbe ammettersi data, senza un processo mentale trascendente.

La cosa si presenta in un aspetto diverso quando, accanto agli oggetti pensati, si considerino gli oggetti pensabili, non più propriamente riconosciuti come dati, ma supposti.

Si abbia un certo sistema di concetti, tra cui intercedano alcuni rapporti logici; supponendo che i concetti stessi possano venir costruiti con operazioni logiche, a partire da certi elementi, essi si presentano come serie, classi, corrispondenze, ecc.

Se gli elementi dei nostri concetti sono stati una volta inizialmente pensati, i rapporti logici dei concetti medesimi, ci apprendono, come si è detto, a ricostruire in parte il processo con cui furono generati. Ma se si lascia cadere l’ipotesi di uno stato iniziale della mente in cui codesti elementi sieno stati pensati, il processo associativo supposto dai concetti ha ancora un significato: le serie o le classi (che ora possono contenere anche infiniti elementi) assumono il valore di modi di determinare a priori l’ordine o la riunione degli oggetti dei pensiero supposti, tostochè questi vengano effettivamente pensati. Così, p. es., il concetto di una linea (orientata) L come serie di punti, ci dà un modo di ordinare i punti che sieno pensati sopra di essa; onde se si considerano su L tre punti A, B, C, resta determinato un modo di ordinarli in serie, che ci fa scegliere una delle sei permutazioni possibili ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, come quella in cui i tre elementi si succedono entro la supposta serie L.

  1. Cfr. Enriques-Fano: «Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. IX (1894)».