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172 capitolo iv


Comunque, l’opinione da Sartorius attribuita a Gauss, nella prima parte del brano citato del suo discorso, non sarebbe accettabile.

Imperocchè a nessuno dei postulati geometrici, può essere riconosciuto il carattere di assioma logico; e ciascuna delle definizioni degli enti fondamentali della Geometria (viziosa, come riconoscemmo, nel suo aspetto logico) racchiude in sè stessa una supposizione reale.

Già abbiamo osservato che la proprietà fondamentale della linea retta, involge appunto l’ipotesi di una certa simmetria fenomenica, cioè un insieme di concordanze, senza le quali non sarebbe possibile di cogliere tanti ordini diversi di fatti, con una unica rappresentazione geometrica.

Di questa ipotesi possiamo dire che essa è, per ora, confermata da tutte le nostre esperienze, e nulla di più. Un apprezzamento quantitativo del grado di rigore ad essa spettante non sembra facile a darsi, sebbene non erriamo certo affermando che la sua esattezza relativa è enormemente grande.

Ma, quando pure si accettino come postuati le ipotesi costituenti il fondamento della unità della Geometria (metrica, ottica....), non si deve credere per questo che sia possibile un solo sistema geometrico generale, una Pangeometria, nella quale resti dubbia soltanto la questione delle parallele.

All’opposto le più recenti ricerche matematiche ci ammaestrano, che infiniti sistemi geometrici diversi restano ancora possibili, non soltanto logicamente, ma anche fisicamente.

Citiamo ad es. le forme spaziali di Clifford-Klein, che stanno a rappresentare possibili costituzioni fisiche dello spazio, radicalmente diverse per un osservatore contenuto nei limiti ristretti della nostra esperienza, e per uno che codesti limiti possa notevolmente allargare.


§ 13. La Geometria non-archimedea e l’arbitrarietà dei postulati.

Negli esempii precedenti i postulati, che corrispondono alle diverse Geometrie, esprimono ipotesi fisiche diverse; la differenza, non constatata dalle esperienze attuali, rimane virtualmente constatabile rispetto ad ulteriori esperienze possibili. Ma si possono costruire, e si sono costruite infatti in questi ultimi anni, altre Geometrie logicamente diverse, che tuttavia non rispondono ad ipotetiche differenze fisiche. Il più bell’esempio è offerto dalla Geometria non-archimedea, costruita da G. Veronese (1891) e più recentemente sviluppata da D. Hilbert e dalla sua scuola, in rapporto ad altri problemi matematici importanti.

Questa Geometria prende le mosse dalla negazione del così detto postulato d’Archimede, riconosciuto indipendente dalle altre premesse geometriche ordinarie, ammettendo dunque «l’esistenza dei segmenti tali che il mul-