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la geometria 173

tiplo dell’uno secondo un intero arbitrariamente grande, sia sempre più piccolo dell’altro».

Una siffatta ipotesi, che ha un senso matematico preciso come relazione di certi concetti, non ha invece alcun senso fisico, perchè non è accessibile in alcun modo all’esperienza; un segmento (infinitesimo attuale) minore di ogni summultiplo della nostra unità di riferimento, si troverebbe definito in modo trascendente rispetto a questa ed ai nostri sensi (p. es., all’organo tattile), sicchè l’ipotesi di un tale segmento non esprime direttamente alcun dato di sensazioni.

Ma di più questa ipotesi non ha significato fisico, neppure indiretto. Difatti Veronese ha mostrato come i teoremi della Geometria non-archimedea si lascino interpretare, in un ordine infinito di approssimazione, come identici a quelli della Geometria ordinaria, sicchè si conclude che «la Geometria archimedea e la Geometria non-archimedea per mezzo di diversi sistemi di concetti, esprimono un medesimo sistema di ipotesi sui rapporti di posizione dei corpi».

Pertanto «postulati, che rivestono una forma diversa, sono capaci di esprimere la stessa realtà fisica».

La Geometria non-archimedea porge una illustrazione interessante di codesta relativa arbitrarietà dei postulati rispetto al mondo reale, arbitrarietà che F. Klein ha messo in luce nel suo «Gutachten für Kasan», e che Poincarè prende, a parer nostro, in un senso troppo esteso, riguardando ogni postulato come una convenzione. Un elemento convenzionale appartiene di fatto ai postulati nel senso che «esistono sistemi di postulati esprimenti con rappresentazioni diverse le stesse ipotesi fisiche»; ma, accanto a questi sistemi di postulati equivalenti, vi sono anche (come vedemmo) sistemi non equivalenti, cui rispondono possibilità fisiche discernibili coll’esperienza. Una scelta arbitraria, in armonia colle esigenze economiche della rappresentazione spaziale, è permessa soltanto quando si tratta di sistemi di postulati equivalenti, o di sistemi non equivalenti che l’esperienza compiuta non sia riuscita ancora a discriminare; ma, nel primo caso, la scelta è puramente convenzionale e libera, nel secondo essa contiene un’ipotesi di fatto e anticipa quindi il resultato di esperienze possibili, dalle quali non è escluso che l’ipotesi medesima venga contraddetta.