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teoria generale

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dente, e insieme minor conseguente della seconda, essa è maggiore della seconda; e poste due proporzioni ${\frac {F}{Q}},{\frac {A}{B}}$, se la prima ha minor antecedente, e insieme maggior conseguente, che la seconda, essa è minore della seconda.

Corollario XIX. — Continui l a $H$ a rappresentare qualsivoglia grandezza omogenea alla $A$; io dico, che ${\frac {A}{B}}$ è maggiore di ${\frac {A}{B+H}}$;

E che ${\frac {A}{B}}$ è minore di ${\frac {A}{B+H}}$.

Dimostrazione della prima parte. — Qualsivoglia aliquota del conseguente minore $B$ essendo per ll'assioma III minore dell'aliquota simile dell'altro conseguente maggiore $B+H$, egli è evidente, che niuna aliquota di $B$ sarà contenuta minor numero di volte in $A$ di quello, che vi sia contenuta l'aliquota simile di $B+H$; di modo che denotando con $Y$ qualche aliquota del conseguente $B$, e con $Y_{0}$ l'aliquota simile del conseguente $B+H$, se non si vorrà concedere, che la $Y$ minore sia contenuta in $A$ più volte, che la $Y_{0}$ maggiore, almeno dovrà concedersi, che la stessa $Y$ minore sia tante volte contenuta in $A$, quante la $Y_{0}$ maggiore è contenuta nella medesima $A$; e in questo caso, se si chiama $M$ la quantità di volte, che tanto la $Y$ minore quanto lo $Y_{0}$ maggiore sono contenute in $A$, la stessa $A$ sarà eguale ad $MY+R$, e ad $MY_{0}+R_{0}$, designando con $R$ il resto, che lascia la $Y$ minore, tolta quante volte si può dalla $A$, e con $R_{0}$ il resto, che può lasciare la $Y_{0}$ maggiore, tolta quante volte si può dalla medesima $A$.

Questo secondo resto $R_{0}$ può talora esse nullo, ma non già il primo resto $R$, il quale in oltre sarà sempre maggiore di $R_{0}$; imperocchè $MY+R$ è uguale ad $MY_{0}+R_{0}$, ma per l'assioma secondo $MY$ è minore di $MY_{0}$ (perchè $Y$ è minore di $Y_{0}$); adunque togliendo dalla medesima grandezza $A$ la $MY$ minore, e la $MY_{0}$ maggiore, il resto $R$, che sempre lascia $MY$, esser dee maggiore del resto $R_{0}$ lasciato da $MY_{0}$.

Chiamasi pertanto $d$ la differenza de' due resti $R$, e $R_{0}$, e il resto maggiore $R$ sarà $=R_{0}+d$, chiamasi in oltre $N$ la quantità di volte, che le aliquote simili $Y$, ed $Y_{0}$ sono contenute ne' rispettivi conseguenti $B$, e $B+H$, e si avrà ${\frac {A}{B}}={\frac {MY+R_{0}+d}{NY}}$, ed ${\frac {A}{B+H}}={\frac {MY_{0}+R_{0}}{NY_{0}}}$; laonde concependo qualunque aliquota simile $x$, ed $x_{0}$ delle rispettive aliquote $Y$, ed $Y_{0}$, e nominando $f$ la quantità di volte, che le due prime sono con-