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teoria generale

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adunque la somma di tutti gli antecedenti potrà esprimersi in questa guisa: $m(y+y_{0}+y_{00},$ ec.$)+r+r_{0}+r_{00}$, ec.

La somma poi di tutti i conseguenti sarà $ny+ny_{0}+ny_{00}$, ec. cioè in virtù del citato assioma IV, $(y+y_{0}+y_{00}$, ec$)$ e perciò la proporzione ${\frac {A+C+F,{\text{ec}}.}{B+D+G,{\text{ec}}.}}$ si denoterà nell'infrascritto modo:

(a)                         ${\frac {m(y+y_{0}+y_{00},{\text{ec.}})+r+r_{0}+r_{00},{\text{ec.}}}{n(y+y_{0}+y_{00},{\text{ec}}.)}}$

ma quest'ultima proporzione (a) è uguale a ciascuna delle proporzioni ${\frac {my+r}{ny}},{\frac {my_{0}+r_{0}}{ny_{0}}},{\frac {my_{00}+r_{00}}{ny_{00}}}$, ec., poichè $(y+y_{0}+y_{00},{\text{ec.}})$ rappresenta qualunque aliquota del conseguente della proporzione (a) ed $r+r_{0}+r_{00}$, ec. denota il resto (nullo, o reale) che appartiene all'antecedente della medesima proporzione (a), siccome le $y,y_{0},y_{00}$, ec. rappresentano le aliquote simili dei rispettivi conseguenti $B,D,G$, ec. e le $r,r_{0},r_{00}$, ec. denotano i resti corrispondenti (nulli, o reali) che appartengono ai rispettivi antecedenti $A,C,F$, ec. adunque per le definizioni X, e XI la proporzione ${\frac {A+C+F,{\text{ec.}}}{B+D+G,{\text{ec.}}}}$ è uguale a ciascuna delle proporzioni ${\frac {A}{B}},{\frac {A}{D}},{\frac {F}{G}}$, ec.

Questo corollario contiene la proposizione XII del V libro d'Euclide.

Corollario XXV. — Le lettere $g$, e $h$ denotino qualunque numero ($h$ può significare anche l'unità) ed $A$, e $B$ rappresentino qualsiasi grandezza; io dico, che sussiste questa proporzionalità

(1)                                                  ${\frac {gA}{gB}}={\frac {hA}{hB}}$.

Imperocchè designando $A$ per $my+r$, e $B$ per $ny$ in conformità della definizione XCVIII, e ponendo in luogo di $A$, e di $B$ questi loro valori nella proporzionalità (1) si avrà quest'altra proporzionalità equivalente:

(2)                                        ${\frac {gmy+gr}{gny}}={\frac {hmy+hr}{hny}}$.

Attesochè pel corollario XXIII l'espressione $g(my+r)$ che rappresenta $gA$ è uguale a $gmy+gr$, e l'espressione $h(my+r)$ che denota $hA$ è uguale ad $hmy+hr$; ma pel corollario XXIII si à $gmy=mgy,hmy=mhy,gny=gny$, ed $hny=nhy$; adunque surrogando invece di $gmy$,