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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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La cosa più interessante in tutto questo è l’esistenza di figure duali che si corrispondono con parallelismo di elementi corrispondenti e la conseguente dimostrazione del principio di dualità senza considerazione dell’assoluto.

Ma per brevità io ne dimostrerò l’esistenza, appunto partendo dall’assoluto; presa una figura $S$, consideriamone la figura polare $S'$, che uno scorrimento qualsiasi porti in $\Sigma$. Le figure $S,\Sigma$ sono appunto due figure duali che si corrispondono nel modo anzidetto.

Il parallelismo di Clifford e la teoria delle curve.

§. 7. Il prof. Bianchi (loc. cit.) dimostrò le seguenti formule che sono la generalizzazione delle formule di Frenet per le curve di uno spazio piano:

${\frac {dx_{i}}{d\sigma }}=\xi _{i},\,{\frac {d\xi _{i}}{d\sigma }}={\frac {\eta _{i}}{\rho }}-x_{i},\,{\frac {d\eta _{i}}{d\sigma }}=-{\frac {\xi _{i}}{\rho }}-{\frac {\zeta _{i}}{\tau }},\,{\frac {d\zeta _{i}}{d\sigma }}={\frac {\eta _{i}}{\tau }}$

dove $\sigma ,\,{\frac {1}{\rho }},\,{\frac {1}{\tau }}$ rappresentano rispettivamente l’arco, la prima e la seconda curvatura nel punto $(x_{i})$ generico di una curva, e dove con $(\xi _{i})$, $(\eta _{i})$, $(\zeta _{i})$ si indicano rispettivamente i coseni di direzione della tangente, della normale principale e della binormale alla curva nel punto $(x_{i})$.

Nei calcoli che seguono, come anche in tutto il resto del lavoro, noi, partendo da quanto s’è visto al §. 3, faremo i calcoli con una sola terna di parametri di scorrimento. Tiriamo dal punto $(1,0,0,0)$ le parallele alle tangenti fino a incontrare il piano polare; l’arco della così ottenuta indicatrice delle tangenti è dato da

$ds^{2}=\sum \{d[x,\xi ]_{i}\}^{2}=\sum {[dx,\xi ]_{i}}^{2}+\sum {[x,d\xi ]_{i}}^{2}+2\sum [dx,\xi ]_{i}[x,d\xi ]_{i}.$

Sostituiamo in queste formule ai differenziali $dx,\,d\xi$ i valori dati dalle succitate formule del prof. Bianchi; e sviluppiamo, ricordando le identità (8) del §. 3. Otterremo

$ds^{2}={\frac {d\sigma ^{2}}{\rho ^{2}}}$