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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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“Condizione necessaria e sufficiente affinchè le binormali a una curva siano parallele in un verso, è che la corrispondente torsione di Clifford sia nulla.

Affinchè la retta uscente dal punto $(x_{i})$ d’una curva e con coseni di direzione $(a\xi _{i}+b\eta _{i}+c\zeta _{i})$ con $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ (dove $a,b,c$ sono costanti, generi al variare del punto $x_{i}$ una rigata di Clifford, deve essere uguale a zero l’arco di una delle sue immagini di Clifford; cioè

$\sum \left\{ad[x,\xi ]+bd[x,\eta ]+cd[x,\zeta ]\right\}^{2}=0$

e coi soliti procedimenti

α)	$......\left({\frac {a}{\rho }}+{\frac {c}{T}}\right)^{2}+b^{2}\left({\frac {1}{\rho ^{2}}}+{\frac {1}{T^{2}}}\right)=0$ cioè ${\frac {\rho }{T}}=cost.;\,b=0$

dove ${\frac {1}{T}}$ indica la corrispondente torsione di Clifford. La curva è quindi un’elica; ma qui si aggiunge un’interpretazione nuova della condizione ${\frac {\rho }{T}}=cost.$, dicendo che deve essere costante il rapporto della prima curvatura a una torsione di Clifford.

Se noi esprimessimo invece che la nostra rigata è a curvatura nulla si troverebbero le

$b=0;\left({\frac {a}{\rho }}+{\frac {c}{\tau }}-c\right)\left({\frac {a}{\rho }}+{\frac {c}{\tau }}+c\right)=0$

che non coincidono con la (α) che per elementi reali. Se ne deduce l’esistenza di “rigate singolari immaginarie generabili come le rigate di Clifford da rette invariabilmente unite al triedro principale di una curva, che non sono a curvatura nulla sebbene abbiano nulla una delle indicatrici di Clifford; le loro generatrici sono perciò tangenti all’assoluto„.

Aggiungerò di volo che invece tutte e sole le curve per cui ${\frac {\rho }{\tau }}=cost.$ sono tali che esiste una retta invariabilmente unita al triedro principale generante una sviluppabile.