Poichè
noi potremo immaginare le
, le
e e le
come parametri di scorrimento di tre rette dello spazio curvo. Poichè per le (α) si ha
la retta
descrive (§. 6) una sviluppabile, cioè inviluppa una curva
; e, poichè per le (α)
la retta
è precisamente la binormale a questa curva
nel suo punto generico; e poichè
la retta
è precisamente la normale principale alla curva
nel suo punto generico.
Questi ultimi ragionamenti si potrebbero fare anche se nulla si sapesse circa alle torsioni di
e di
; ma in tal caso non si potrebbe più dire che, se
è l’arco della
, si ha
. Se noi supponiamo invece che
e per maggior semplicità supponiamo che
, allora si vede subito che
; infatti si è visto che in uno spazio a curvatura
, l’arco
è definito da
Che la differenza costante
sia
non toglie la generalità; che se
fosse una costante distinta da
si avrebbe, come si intende facilmente, una curva
di uno spazio ellittico a curvatura differente da
. (Del resto con una similitudine si può sempre passare da una tal coppia di curve a una coppia di curve, per cui sia
).
Dimostrato che la
corrisponde alle
,
con uguaglianza di arco, le (α) confrontate con le (14) dimostrano il nostro teorema completamente.