Pagina:Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici.djvu/32

26

G. Fubini

Poichè $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}=\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=....=1$ noi potremo immaginare le $(\alpha ,\beta ,\gamma ;\alpha ',\beta ',\gamma ')$, le $(\xi ,\eta ,\zeta ;\xi ',\eta ',\zeta ')$ e e le $(\lambda ,\mu ,\nu ,\lambda ',\mu ',\nu ')$ come parametri di scorrimento di tre rette dello spazio curvo. Poichè per le (α) si ha $d\alpha ^{2}+d\beta ^{2}+d\gamma ^{2}=d\alpha '^{2}+d\beta '^{2}+d\gamma '^{2}$ la retta $(\alpha ,\beta ,\gamma ;\alpha ',\beta ',\gamma ')$ descrive (§. 6) una sviluppabile, cioè inviluppa una curva $C$; e, poichè per le (α)

$\lambda \alpha +\mu \beta +\nu \gamma =\lambda '\alpha '+\mu '\beta '+\nu '\gamma '=\lambda d\alpha +\mu d\beta +\nu d\gamma =\lambda 'd\alpha '+\mu 'd\beta '+\nu 'd\gamma '=0$

la retta $(\lambda ,\mu ,\nu ;\lambda ',\mu ',\nu ')$ è precisamente la binormale a questa curva $C$ nel suo punto generico; e poichè

$\xi \alpha +\eta \beta +\zeta \gamma =\xi '\alpha '+\eta '\beta '+\zeta '\gamma '=\xi \lambda +\eta \mu +\zeta \nu =\xi '\lambda +\eta '\beta '+\zeta '\gamma '=0$

la retta $(\xi ,\eta ,\zeta ;\xi ',\eta ',\zeta ')$ è precisamente la normale principale alla curva $C$ nel suo punto generico.

Questi ultimi ragionamenti si potrebbero fare anche se nulla si sapesse circa alle torsioni di $C'$ e di $C''$; ma in tal caso non si potrebbe più dire che, se $\sigma$ è l’arco della $C$, si ha $d\sigma =ds$. Se noi supponiamo invece che ${\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T'}}=cost.$ e per maggior semplicità supponiamo che ${\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T'}}=\pm 2$, allora si vede subito che $d\sigma =ds$; infatti si è visto che in uno spazio a curvatura $+1$, l’arco $\sigma$ è definito da

$d\sigma ={\frac {\pm 1}{2}}\left\{\lambda d\xi +\mu d\eta +\nu d\zeta )-(\lambda 'd\xi '+\mu 'd\eta '+\nu 'd\zeta ')\right\}.$

Che la differenza costante ${\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T'}}$ sia $\pm 2$ non toglie la generalità; che se ${\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T'}}$ fosse una costante distinta da $\pm 2$ si avrebbe, come si intende facilmente, una curva $C$ di uno spazio ellittico a curvatura differente da $+1$. (Del resto con una similitudine si può sempre passare da una tal coppia di curve a una coppia di curve, per cui sia ${\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T'}}=\pm 2$).

Dimostrato che la $C$ corrisponde alle $C'$, $C''$ con uguaglianza di arco, le (α) confrontate con le (14) dimostrano il nostro teorema completamente.