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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Ponendo

$d\xi _{i}={\frac {\partial \xi _{i}}{\partial u}}du+{\frac {\partial \xi _{i}}{\partial v}}dv$, $\delta \xi _{i}={\frac {\partial \xi _{i}}{\partial u}}\delta u+{\frac {\partial \xi _{i}}{\partial u}}dv$, ecc.

vediamo subito che questa somma è uguale a

$(du\delta v-\delta udv)\left({\frac {\partial x_{2}}{\partial v}}{\frac {\partial \xi _{2}}{\partial u}}+{\frac {\partial x_{3}}{\partial v}}{\frac {\partial \xi _{3}}{\partial u}}-{\frac {\partial x_{2}}{\partial u}}{\frac {\partial \xi _{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial x_{3}}{\partial u}}{\frac {\partial \xi _{3}}{\partial v}}\right)$

e ricordiamo che, mutando il verso del parallelismo, tutto resta inalterato, eccettochè questa somma si deve considerare col segno mutato, come dimostra un facile calcolo. Ora (come si notò per calcolare le coordinate di $P'$, $P''$, $\pi '$, $\pi ''$) è per noi

$dx_{1}=dx_{4}=d\xi _{1}=d\xi _{4}=0;$

quindi con le notazioni del Fibbi, ricordate più su, si vede che la somma precedente si può scrivere

$\pm (f-f')(du\delta v-\delta udv)$

dove il doppio segno corrisponde per quanto si è detto al doppio senso del parellelismo. Si ha dunque

α)	$6d\omega ''=6d\omega +6d\omega '\pm (f'-f)(du\delta v-\delta vdu).$

La formula notata più su che dà $d\omega$, diventa, poichè

$EG-F^{2}=\left(x,\xi ,{\frac {\partial x}{\partial u}},{\frac {\partial x}{\partial v}}\right)^{2}$

(dove col simbolo tra parentesi si indica al solito un determinante del IV ordine (§. 3)) e poichè $dx_{1}=dx_{4}=d\xi _{1}=d\xi _{4}=0$

β)	$6d\omega ={\sqrt {EG-F^{2}}}(du\delta v-\delta udv).$

La (α) e la (β) danno il seguente teorema:

Una delle due densità di Clifford di una congruenza in un punto differisce dalla corrispondente densità del Fibbi aumentata della cur-