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G. Fubini

$\sum {\frac {\partial X}{\partial u}}{\frac {\partial X}{\partial v}}=\left({\frac {D}{\sqrt {E}}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right)\left({\frac {D'\pm {\sqrt {EG}}}{\sqrt {E}}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)-$

$-\left({\frac {\cos \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}+\operatorname {sen} \varphi {\frac {D'\mp {\sqrt {EG}}}{\sqrt {EG}}}\right)\left({\frac {\cos \varphi }{\sqrt {E}}}{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}-\operatorname {sen} \varphi {\frac {D''}{\sqrt {G}}}\right).$

Affinchè l’immagine di Clifford corrispondente sia degenere, deve essere

$\left[\sum \left({\frac {\partial X}{\partial u}}\right)^{2}\right]\left[\sum \left({\frac {\partial X}{\partial v}}\right)^{2}\right]-\left(\sum {\frac {\partial X}{\partial u}}{\frac {\partial X}{\partial v}}\right)^{3}=0$

cioè deve essere nullo (il quadrato di)

$\left({\frac {D}{\sqrt {E}}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}\right)\left(\cos \varphi {\frac {1}{\sqrt {E}}}{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}-\operatorname {sen} \varphi {\frac {D''}{\sqrt {G}}}\right)+$

$+\left({\frac {D'\pm {\sqrt {EG}}}{\sqrt {E}}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}\right)\left({\frac {\cos \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}+\operatorname {sen} \varphi {\frac {D'\mp {\sqrt {EG}}}{\sqrt {G}}}\right).$

Si sviluppi ricordando che, se $K$ è la curvatura della superficie di partenza, è

${\frac {DD''}{\sqrt {EG}}}-{\frac {D'\pm {\sqrt {EG}}}{\sqrt {E}}}{\frac {D'\mp {\sqrt {EG}}}{\sqrt {G}}}={\sqrt {EG}}K$

e si avrà

$-\operatorname {sen} \varphi {\frac {\partial \varphi }{\partial u}}{\frac {D''}{\sqrt {G}}}+{\frac {\cos \varphi }{E}}D{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}+{\frac {\cos \varphi }{\sqrt {E}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial u}}{\frac {\partial {\sqrt {G}}}{\partial u}}+{\frac {\cos \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial v}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial u}}+$

$+\operatorname {sen} \varphi {\frac {\partial \varphi }{\partial v}}{\frac {D'\mp {\sqrt {EG}}}{\sqrt {G}}}+{\frac {\cos \varphi }{\sqrt {G}}}{\frac {\partial {\sqrt {E}}}{\partial v}}{\frac {D'\pm {\sqrt {EG}}}{\sqrt {E}}}-\operatorname {sen} \varphi K{\sqrt {EG}}=0.$

Si moltiplichi per $D$, si sostituisca a $DD''$ il suo valore dedotto dalla penultima formula; il risultato dovrà esser identicamente nullo