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| 46 | G. Fubini |
Otteniamo così come superficie di partenza una superficie di rotazione (o una sua deformata) che al limite diventa appunto una delle superficie di Weingarten che si presentano nello studio diretto per lo spazio euclideo.
Dopo questa ricerca, osserviamo ora che basta porre
nel quadro di formule di questo paragrafo e formare la somma per ottenere appunto di nuovo l’elemento lineare del §. 14, come volevamo.
E qui osserviamo che il termine in col doppio segno, che a prima vista può fare meraviglia quando si ricordino le cose analoghe per lo spazio euclideo e iperbolico, è invece cosa prevedibile “a priori„ perchè le , sono appunto le sviluppabili della congruenza delle normali alla superficie (§. 11).
§. 16. Ora noi ci facciamo la seguente domanda:
Date le due immagini piane di una congruenza (in corrispondenza biunivoca) come riconosceremo se la congruenza è normale?
Intanto dallo studio fatto, quando per le , siano prese le linee di curvatura di una superficie, vediamo che è condizione necessaria che le immagini si corrispondano con equivalenza delle aree. Dimostriamo ora viceversa che, se le immagini sono tali che siano equivalenti due parti corrispondenti qualunque, la congruenza è normale oppure duale di una congruenza normale (questa ultima proprietà non è per nulla contraria alla generalità del risultato, perchè congruenze duali hanno le stesse immagini di Clifford). (Cf. §. 13). Infatti, se le e le sono le sviluppabili della nostra congruenza (le linee che corrispondono con uguaglianza d’arco sulle due immagini di Clifford e che dimostreremo reali) allora la parte di segno variabile dell’elemento lineare delle immagini di Clifford si riduce al più al termine in ; e se le due immagini si corrispondono nel modo supposto, sarà nullo il termine in “„ o nella parte di segno costante, o in quella di
