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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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segno variabile. In quest’ultimo caso la congruenza è a sviluppabili indeterminate, cioè è formata dalle rette normali a un piano; nell’altro caso è $F + F^{'} = 0$ ; siano ora

$d s^{2} = A d u^{2} + 2 B d u d v + C d v^{2}$ , $D d u^{2} + 2 D^{'} d u d v + D^{″} d v^{2}$

le forme fondamentali di una delle falde focali della congruenza luogo del fuoco $(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4})$ e siano $ξ_{i} = \frac{1}{\sqrt{A}} \frac{\partial x_{i}}{\partial u}$ i coseni di direzione del raggio per $x_{i}$ ; sarà $E = F = 0$ ; e affinchè $F + F^{'} = 0$ dovrà essere

$F^{'} = \sum \frac{\partial ξ}{\partial u} \frac{\partial ξ}{\partial v} - (\sum x \frac{\partial ξ}{\partial u}) (\sum x \frac{\partial ξ}{\partial v}) =$

$= \sum \frac{\partial}{\partial u} [\frac{1}{\sqrt{A}} \frac{\partial x}{\partial u}] \frac{\partial}{\partial v} [\frac{1}{\sqrt{A}} \frac{\partial x}{\partial u}] - (\sum ξ \frac{\partial x}{\partial u}) (\sum ξ \frac{\partial x}{\partial v}) = 0.$

Ora è

$(\sum ξ \frac{\partial x}{\partial u}) = \sqrt{A}$ ; $(\sum ξ \frac{\partial x}{\partial v}) = \frac{B}{\sqrt{A}}$ ; $(\sum ξ \frac{\partial x}{\partial u}) (\sum ξ \frac{\partial x}{\partial v}) = B$ .

E così si ha:

$\frac{1}{4 A^{2}} \frac{\partial A}{\partial u} \frac{\partial A}{\partial v} + \frac{1}{A} \sum \frac{\partial^{2} x}{\partial u^{2}} \frac{\partial^{2} x}{\partial u \partial v} - B = 0.$

Ricordando che $D^{'} = 0$ si ha, detti $(X_{1} X_{2} X_{3} X_{4})$ i coseni di direzione della normale alla superficie, che:

$\frac{\partial^{2} x}{\partial u^{2}} = {\begin{matrix} 11 \\ 1 \end{matrix}} \frac{\partial x}{\partial u} + {\begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix}} \frac{\partial x}{\partial v} - A x + D X$

dove i simboli di Christoffel sono riferiti alla forma

$A d u^{2} + 2 B d u d v + C d v^{2} .$

Si ricava:

$\sum \frac{\partial^{2} x}{\partial u^{2}} \frac{\partial^{2} x}{\partial u \partial v} = \frac{1}{2} {\begin{matrix} 11 \\ 1 \end{matrix}} \frac{\partial A}{\partial v} + \frac{1}{2} {\begin{matrix} 11 \\ 2 \end{matrix}} \frac{\partial C}{\partial u} + A B$