Pagina:Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici.djvu/65

Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

59

Il prof. Bianchi vi dimostra che ogni elemento sferico

α)	$ds^{2}=H_{1}^{2}du^{2}+H_{2}^{2}dv$

con

β)	$\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}{\frac {\partial }{\partial v}}\left({\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial H_{2}}{\partial v}}\right)=\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial H_{1}}{\partial v}}\right)$

dove $\sigma$ sia costante è l’elemento lineare della immagine sferica di una congruenza pseudosferica euclidea riferita alle linee corrispondenti alle assintotiche delle falde focali; e che posto

$\tau =\int \left(\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial H_{1}}{\partial v}}du+\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}{\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial H_{2}}{\partial u}}dv\right)$

si può porre

γ)

$\left\lbrace {\begin{array}{c}e^{\tau }\left(H_{1}\operatorname {sen} {\frac {\sigma }{2}}du+H_{2}\cos {\frac {\sigma }{2}}dv\right)=\operatorname {sen} \sigma d\alpha \\e^{-\tau }\left(H_{1}\operatorname {sen} {\frac {\sigma }{2}}du-H_{2}\cos {\frac {\sigma }{2}}dv\right)=\operatorname {sen} \sigma d\beta \end{array}}\right.$

cioè

δ)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}H_{1}du=\cos {\frac {\sigma }{2}}\left(e^{-\tau }d\alpha +e^{\tau }d\beta \right)\\H_{2}dv=\operatorname {sen} {\frac {\sigma }{2}}\left(e^{-\tau }d\alpha -e^{\tau }d\beta \right)\end{array}}\right.$

cosicchè l’elemento (α) si può anche scrivere

ε)	$ds^{2}=e^{-2\tau }d\alpha ^{2}+2\cos \sigma d\alpha d\beta +e^{2\tau }d\beta ^{2}$

dove le $\alpha =cost.$ $\beta =cost.$ sono le traiettorie ortogonali delle immagini piane delle sviluppabili della congruenza; e che viceversa ogni elemento (ε) si può porre sotto la forma (α), dove sussista (β). Di più detti $2\theta$, $2\omega$ gli angoli tra le assintotiche sulle due falde focali della suddetta congruenza pseudosferica, si ha che:

ζ)	$H_{1}={\frac {\cos(\theta +\omega )}{\cos {\frac {\sigma }{2}}}}$, $H_{2}={\frac {\cos(\theta -\omega )}{\operatorname {sen} {\frac {\sigma }{2}}}}$