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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Il prof. Bianchi vi dimostra che ogni elemento sferico

α)	$d{s}^2=H_1^{2}d{u}^2+H_2^{2}dv$

con

β)	$\mathrm{tg}\frac{\sigma }{2}\frac{\partial }{\partial v}\left(\frac{1}{H_1}\frac{\partial H_2}{\partial v}\right)=\mathrm{cotg}\frac{\sigma }{2}\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{1}{H_2}\frac{\partial H_1}{\partial v}\right)$

dove $\sigma$ sia costante è l’elemento lineare della immagine sferica di una congruenza pseudosferica euclidea riferita alle linee corrispondenti alle assintotiche delle falde focali; e che posto

$\tau =\int (\mathrm{tg}\frac{\sigma }{2}\frac{1}{H_2}\frac{\partial H_1}{\partial v}du+\mathrm{cotg}\frac{\sigma }{2}\frac{1}{H_1}\frac{\partial H_2}{\partial u}dv)$

si può porre

γ)	$\{\begin{array}{c}{e}^{\tau }(H_1\mathrm{sen}\frac{\sigma }{2}du+H_2\cos \frac{\sigma }{2}dv)=\mathrm{sen}\sigma d\alpha \\ e^{-\tau }(H_1\mathrm{sen}\frac{\sigma }{2}du-H_2\cos \frac{\sigma }{2}dv)=\mathrm{sen}\sigma d\beta \end{array}$

cioè

δ)	$\{\begin{array}{c}{H}_{1}du=\cos \frac{\sigma }{2}(e^{-\tau }d\alpha +e^{\tau }d\beta )\\ H_{2}dv=\mathrm{sen}\frac{\sigma }{2}(e^{-\tau }d\alpha -e^{\tau }d\beta )\end{array}$

cosicchè l’elemento (α) si può anche scrivere

ε)	$d{s}^2=e^{-2\tau }d{\alpha }^2+2\cos \sigma d\alpha d\beta +e^{2\tau }d{\beta }^2$

dove le $\alpha =cost.$ $\beta =cost.$ sono le traiettorie ortogonali delle immagini piane delle sviluppabili della congruenza; e che viceversa ogni elemento (ε) si può porre sotto la forma (α), dove sussista (β). Di più detti $2\theta$, $2\omega$ gli angoli tra le assintotiche sulle due falde focali della suddetta congruenza pseudosferica, si ha che:

ζ)	$H_1=\frac{\cos (\theta +\omega )}{\cos \frac{\sigma }{2}}$, $H_2=\frac{\cos (\theta -\omega )}{\mathrm{sen}\frac{\sigma }{2}}$