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G. Fubini

dove

η)	$\frac{\partial (\theta -\omega )}{\partial u}=\mathrm{tg}\frac{\sigma }{2}\cos (\theta +\omega )$, $\frac{\partial (\theta +\omega )}{\partial v}=-\mathrm{cotg}\frac{\sigma }{2}\cos (\theta -\omega )$.

Ora noi abbiamo fatto l’osservazione che quando il coefficiente di $dudv$ è costante, e il coefficiente di $d{u}^2$ è funzione del coefficiente di $d{v}^2$, l’elemento lineare resta sferico mutando il segno di $f$.

E ci proponiamo così la questione seguente:

Qual relazione geometrica passa tra le due congruenze $W$ determinate secondo il metodo del prof. Bianchi partendo dall’elemento (ε) e dall’elemento

ε')	$e^{-2\tau }d{\alpha }^2-2\cos \sigma d\alpha d\beta +e^{2\tau }d{\beta }^2$

che se ne deduce mutando il segno di $\cos \sigma$?

L’elemento (ε') si deduce da (ε) mutando $\sigma$ in $\pi -\sigma$; cosicchè l’elemento (α') che si deduce da (ε') come (α) da (ε) sarà

α')	$d{s}^2=Edu{\text{'}}^2+Gdv{\text{'}}^2$

e avranno luogo le relazioni:

δ')	$\{\begin{array}{c}\sqrt{E}d{u}^{\prime }=\mathrm{sen}\frac{\sigma }{2}(e^{-\tau }d\alpha +e^{\tau }d\beta )\\ \sqrt{G}d{v}^{\prime }=\cos \frac{\sigma }{2}(e^{-\tau }d\alpha -e^{\tau }d\beta )\end{array}$

ζ')	$\sqrt{E}=\frac{\cos ({\theta }_1+{\omega }_1)}{\mathrm{sen}\frac{\sigma }{2}}$, $\sqrt{G}=\frac{\cos ({\theta }_1-{\omega }_1)}{\cos \frac{\sigma }{2}}$

dove gli angoli ${\theta }_1$ ${\omega }_1$ soddisfanno alle

η')	$\frac{\partial ({\theta }_1+{\omega }_1)}{\partial v^{\prime }}=-\mathrm{tg}\frac{\sigma }{2}\cos ({\theta }_1-{\omega }_1)$, $\frac{\partial ({\theta }_1-{\omega }_1)}{\partial u^{\prime }}=\mathrm{cotg}\frac{\sigma }{2}\cos ({\theta }_1+{\omega }_1)$.

Le (δ)' confrontate con le (δ) ci dicono che $u^{\prime }$ è funzione della sola $u$ e $v^{\prime }$ della sola $v$; confrontando i valori di

$e^{-\tau }d\alpha \pm e^{\tau }d\beta$