Pagina:Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici.djvu/67

Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

61

ricavati dalle (δ), (δ') e ricordando le (ζ), (ζ') si ottiene

θ)

$\{\begin{array}{c}\mathrm{cotg}\frac{\sigma }{2}\cos ({\theta }_1+{\omega }_1)d{u}^{\prime }=\mathrm{tg}\frac{\sigma }{2}\cos (\theta +\omega )d{u}^{\prime }\\ \mathrm{tg}\frac{\sigma }{2}\cos ({\theta }_1-{\omega }_1)d{v}^{\prime }=\mathrm{cotg}\frac{\sigma }{2}\cos (\theta -\omega )dv.\end{array}$

Nei secondi membri di (η)' portiamo i valori dati dalle (θ) e quindi poniamo per $\mathrm{tg}\frac{\sigma }{2}\cos (\theta +\omega )$ e per $\mathrm{cotg}\frac{\sigma }{2}\cos (\theta -\omega )$ i valori ricavati dalle (η). Otterremo

χ)

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial ({\theta }_1+{\omega }_1)}{\partial v^{\prime }}=\frac{\partial (\theta +\omega )}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial v^{\prime }}\\ \frac{\partial ({\theta }_1-{\omega }_1)}{\partial u^{\prime }}=\frac{\partial (\theta -\omega )}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial u^{\prime }}.\end{array}$

È quindi naturale porre

${\theta }_1(u^{\prime },v^{\prime })=\theta (u,v)$; ${\omega }_1(u^{\prime },v^{\prime })=\omega (u,v)$

che per le (θ) danno

λ)	$u^{\prime }=u{\mathrm{tg}}^2\frac{\sigma }{2}$, $v^{\prime }=v{\mathrm{cotg}}^2\frac{\sigma }{2}$

e quindi

μ)

$\{\begin{array}{c}{\theta }_1(u^{\prime },v^{\prime })=\theta (u,v)=\theta (u^{\prime }{\mathrm{cotg}}^2\frac{\sigma }{2},v^{\prime }{\mathrm{tg}}^2\frac{\sigma }{2})\\ {\omega }_1(u^{\prime },v^{\prime })=\omega (u,v)=\omega (u^{\prime }{\mathrm{cotg}}^2\frac{\sigma }{2},v^{\prime }{\mathrm{tg}}^2\frac{\sigma }{2}).\end{array}$

E del resto si verifica subito che questi valori di ${\theta }_1$ e di ${\omega }_1$, soddisfanno alle (η') e allora per i teoremi del prof. Bianchi e per le (ζ') si ha l’elemento sferico (α') che si deduce da (ε') nel modo stesso che (ε) da (α).