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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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ricavati dalle (δ), (δ') e ricordando le (ζ), (ζ') si ottiene

θ)

$\left\lbrace {\begin{array}{c}\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta _{1}+\omega _{1})du'=\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta +\omega )du'\\\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta _{1}-\omega _{1})dv'=\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta -\omega )dv.\end{array}}\right.$

Nei secondi membri di (η)' portiamo i valori dati dalle (θ) e quindi poniamo per $\operatorname {tg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta +\omega )$ e per $\operatorname {cotg} {\frac {\sigma }{2}}\cos(\theta -\omega )$ i valori ricavati dalle (η). Otterremo

χ)

$\left\lbrace {\begin{array}{c}{\frac {\partial (\theta _{1}+\omega _{1})}{\partial v'}}={\frac {\partial (\theta +\omega )}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial v'}}\\{\frac {\partial (\theta _{1}-\omega _{1})}{\partial u'}}={\frac {\partial (\theta -\omega )}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial u'}}.\end{array}}\right.$

È quindi naturale porre

$\theta _{1}(u',v')=\theta (u,v)$; $\omega _{1}(u',v')=\omega (u,v)$

che per le (θ) danno

λ)	$u'=u\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\sigma }{2}}$, $v'=v\operatorname {cotg} ^{2}{\frac {\sigma }{2}}$

e quindi

μ)

$\left\lbrace {\begin{array}{c}\theta _{1}(u',v')=\theta (u,v)=\theta \left(u'\operatorname {cotg} ^{2}{\frac {\sigma }{2}},v'\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\sigma }{2}}\right)\\\omega _{1}(u',v')=\omega (u,v)=\omega \left(u'\operatorname {cotg} ^{2}{\frac {\sigma }{2}},v'\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\sigma }{2}}\right).\end{array}}\right.$

E del resto si verifica subito che questi valori di $\theta _{1}$ e di $\omega _{1}$, soddisfanno alle (η') e allora per i teoremi del prof. Bianchi e per le (ζ') si ha l’elemento sferico (α') che si deduce da (ε') nel modo stesso che (ε) da (α).