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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Date due sfere

β)	$\left\lbrace {\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z={\frac {1}{4}}\\x^{2}+y^{2}+z^{2}+a'_{1}x+a'_{2}y+a'_{3}z={\frac {1}{4}}\end{array}}\right.$

per trovare a quali coppie di generatrici della sfera $x^{2}+y^{2}+z^{2}+{\frac {1}{4}}=0$ il cerchio (β) (immagine di una retta dello spazio curvo) si appoggia si sottragga da (β) la $x^{2}+y^{2}+z^{2}+{\frac {1}{4}}=0$; e dalle equazioni così ottenute e da (α) si eliminano $x,y,z$. Si otterrà per determinare $\lambda$

${\begin{vmatrix}-1&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\-1&b_{1}&b_{2}&b_{3}\\i&1&\lambda &-i\lambda \\i\lambda &-\lambda &1&i\end{vmatrix}}=0$

Da cui si deduce:

Affinchè il cerchio (β) e il cerchio

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+a'_{1}x+a'_{2}y+a'_{3}z-{\frac {1}{4}}=0$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+b'_{1}x+b'_{2}y+b'_{3}z-{\frac {1}{4}}=0$

si appoggino alla medesima coppia di generatrici di

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+{\frac {1}{4}}=0$

deve essere

${\begin{vmatrix}-1&a_{1}\\-1&b_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\a_{2}&a_{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}-1&a_{2}\\-1&b_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b_{3}&b_{1}\\a_{3}&a_{1}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}-1&a_{3}\\-1&b_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\a_{1}&a_{2}\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}-1&a'_{1}\\-1&b'_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b'_{2}&b'_{3}\\a'_{2}&a'_{3}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}-1&a'_{2}\\-1&b'_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b'_{3}&b'_{1}\\a'_{3}&a'_{1}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}-1&a'_{3}\\-1&b'_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b'_{1}&b'_{2}\\a'_{1}&a'_{2}\end{vmatrix}}.$

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