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G. Fubini

normale principale alle $u = c o s t .$ e la normale alla superficie in un punto generico, sarà

$\frac{\cos σ}{ρ_{u}} = \frac{D^{″}}{E}$ , $\frac{sen σ}{ρ_{u}} = - \frac{1}{E} \frac{\partial \sqrt{E}}{\partial u}$

che, per quanto s’è detto, danno derivate rispetto a $v$

1)	$\frac{D^{″}}{E} \frac{\partial σ}{\partial v} = - \frac{\partial}{\partial v} (\frac{1}{E} \frac{\partial \sqrt{E}}{\partial u})$

2)	$\frac{1}{E} \frac{\partial \sqrt{E}}{\partial u} \frac{\partial σ}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v} (\frac{D^{″}}{E})$

col che le proprietà supposte danno

3)	$\frac{\partial}{\partial v} (\frac{D^{'}'^{2} + {(\frac{\partial \sqrt{E}}{\partial u})}^{2}}{D^{2}}) = 0$ , $\frac{D^{'}}{E} = \frac{1}{\sqrt{E}} \frac{\partial σ}{\partial v}$

mentre per le equazioni di Codazzi e di Gauss si ha:

4)	$D D^{″} - D'^{2} = - \frac{E}{2} (\frac{\partial^{2} \log E}{\partial u^{2}} + \frac{\partial^{2} \log E}{\partial v^{2}})$

5)	$\frac{\partial D}{\partial v} - \frac{\partial D^{'}}{\partial u} - \frac{1}{2} \frac{\partial \log E}{\partial v} D - \frac{1}{2} \frac{\partial \log E}{\partial v} D^{″} = 0$

6)	$\frac{\partial D^{″}}{\partial u} - \frac{\partial D^{'}}{\partial u} - \frac{1}{2} \frac{\partial \log E}{\partial u} D - \frac{1}{2} \frac{\partial \log E}{\partial u} D^{″} = 0.$

La superficie $Σ^{'}$ immagine dello spazio curvo avrà per elemento lineare

$d s'^{2} = \frac{E}{λ^{2}} (d u^{2} + d v^{2})$

dove $λ$ si determina osservando che le $u = c o s t .$ sono geodetiche, cosicchè

7)	$\frac{\partial \log λ}{\partial u} = \frac{\partial \log \sqrt{E}}{\partial u} .$