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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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La seconda forma fondamentale di ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ è, come si calcola subito,

$D_{1}d{u}^2+2D{\text{'}}_{1}dudv+D^{\prime }{\text{'}}_{1}d{v}^2=-$

$=-\frac{\lambda (Dd{u}^2+2D^{\prime }dudv+D^{″}d{v}^2)+2E(xX+yY+zZ)(d{u}^2+d{v}^2)}{{\lambda }^2}.$

Ponendo per $Xx+Yy+Zz$ il valore che se ne ricava dalla^[1] ${\rho }_{12}-D^{\prime }W$ e ricordando che si può ammettere costante $\lambda -2\rho$ se ne deduce (ricordando le (1) e (3)):

$D_{1}d{u}^2+2D{\text{'}}_{1}dudv+D^{\prime }{\text{'}}_{1}d{v}^2=\frac{D^{″}-D}{\lambda }d{u}^2-2\frac{D^{\prime }}{\lambda }dudv.$

E le $u=cost.$ riescono anche assintotiche, cioè appunto rette. Per trovare $\lambda$ senza quadrature, si usi delle formule di Codazzi e di Gauss per la ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$; se ne avrà $\frac{\lambda }{D^{\prime }}=cost.$, e le formule di Codazzi e di Gauss stesse si ridurranno alle:

α)	$\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{D^{\prime }}{\sqrt{E}}\right)=0$

β)	$\frac{\partial \log \frac{D^{″}-D}{\sqrt{E}}}{\partial v}=0$

γ)	${\left(\frac{D^{\prime }}{\sqrt{E}}\right)}^2\{{\left(\frac{D^{\prime }}{\sqrt{E}}\right)}^2+\frac{{\partial }^2\log \left(\frac{D^{\prime }}{\sqrt{E}}\right)}{\partial v^2}\}=cost.$

Le due prime di queste equazioni per le (2), (3), (5) sono conseguenza l’una dell’altra; se si riuscisse perciò a dimostrare direttamente una di queste due e la terza, si sarebbe dimostrato di nuovo, e in modo diretto, il nostro teorema.

La (α) dà per la (3)

$\frac{{\partial }^2\sigma }{\partial u\partial v}=0.$

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1. Bianchi. (Lezioni, Cap. IV, pag. 114).