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G. Fubini

deticamente parallele; se tutte e due le immagini di Clifford sono degeneri allora la congruenza è $W$, ed è normale a una superficie a curvatura nulla„.

Quest’ultimo teorema dà una nuova proprietà proiettiva “caratteristica„ delle congruenze normali a una superficie a curvatura nulla; mentre finora si era dimostrata che l’avere le immagini degeneri era proprietà che distingueva queste congruenze soltanto dalle congruenze normali.

Questi teoremi si dimostrano subito: se le α, β, γ del §.12 sono funzioni della sola “$u$„, l’uguaglianza del §.12 diventa:

${\begin{vmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\{\frac {\partial \alpha }{\partial u}}&{\frac {\partial \beta }{\partial u}}&{\frac {\partial \gamma }{\partial u}}\\{\frac {\partial ^{2}\alpha }{\partial u^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}\beta }{\partial u^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}\gamma }{\partial u^{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial \alpha _{1}}{\partial v}}&{\frac {\partial \beta _{1}}{\partial v}}&{\frac {\partial \gamma _{1}}{\partial v}}\\{\frac {\partial ^{2}\alpha _{1}}{\partial u\partial v}}&{\frac {\partial ^{2}\beta _{1}}{\partial u\partial v}}&{\frac {\partial ^{2}\gamma _{1}}{\partial u\partial v}}\\{\frac {\partial ^{2}\alpha _{1}}{\partial v^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}\beta _{1}}{\partial v^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}\gamma _{1}}{\partial v^{2}}}\end{vmatrix}}=0.$

Se è nullo il primo di questi due determinanti, allora $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sono legati da una relazione lineare e la curva $C$ è una retta; se è nullo il secondo si riconosce tosto coi procedimenti del §. 12 che le $v=cost.$ risultano geodeticamente parallele.

Infine se $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, sono funzioni della sola $v$, cioè se tutte e due le immagini di Clifford si riducono a una linea, è ben chiaro che la congruenza corrispondente è $W$, perchè il secondo dei due determinanti precedenti si annulla; anzi la congruenza è proprio normale come si riconosce con ragionamenti analoghi a quelli del §. 16 e come ci si può anche convincere geometricamente.

Un’altra cosa da notare nel presente lavoro è forse la definizione dell’angolo di due rette sghembe; credo perciò non inutile il darne un’altra definizione equivalente, indipendentemente da ogni concetto di parallelismo.

Siano $a,b$ le due rette e, ciò che non scema la generalità, sia $a$ la retta che unisce il punto $(1,0,0,0)$ al punto $(0,0,0,1)$; e le perpendicolari comuni alla $a$ e alla $b$ siano la retta $\beta$ che va dal