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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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punto $(1,0,0,0)$ al punto $(0,1,0,0)$ e la retta $\gamma$ che da $(0,0,0,1)$ va al punto $(0,0,1,0)$. La retta $b$ stacchi sulle rette $\beta$, $\gamma$ a partire dai punti $(1,0,0,0)$ e $(0,0,0,1)$ rispettivamente segmenti di lunghezza $\varphi$, $f$; la retta $b$ sarà la retta che unisce il punto $(\cos \varphi ,\operatorname {sen} \varphi ,0,0)$ al punto $(0,0,\operatorname {sen} f,\cos f)$, E allora è facile costruire i parametri di scorrimento delle $a$, $b$; e se con $w$ indichiamo l’angolo di queste due rette, sarà, come subito si vede, $\cos w=\cos(\varphi \pm f)$ a seconda del verso in cui l’angolo è misurato. Quindi:

Il coseno dell’angolo di due rette sghembe è uguale al coseno della somma o della differenza della loro minima e massima distanza, a seconda del senso in cui vien misurato.

E ne discende subito il teorema tante volte citato che l’angolo di due rette ammette una sola determinazione allora e allora soltanto che le due rette sono complanari.

Voglio qui notare espressamente che in tutto questo lavoro si è lasciata sempre impregiudicata la questione dell’orientazione di una retta e quindi della precisa determinazione dell’angola di due rette sghembe; questa maggior precisione fu per noi sempre inutile e si potrebbe del resto stabilire facilmente.

Devo inoltre aggiungere che io avevo già finito il presente lavoro, quando il prof. Bianchi mi comunicò che il sig. Study (Ueber Nicht-Euklidische und Linien-Geometrie; Greisfwald 1900 pag. 73-79) aveva trattato del parallelismo di Clifford. In queste pagine il signor Study partendo da punti di vista puramente geometrici enuncia e dà alcuni semplicissimi corollari dei seguenti due teoremi:

“L’insieme delle coppie di rette polari dello spazio curvo si può riferire all’insieme delle coppie di rette formate da una retta di una stella fissa e da una retta di un’altra stella fissa dello spazio piano; alle rotazioni dell’una o dell’altra di queste stelle corrispondono gli scorrimenti nell’uno o nell’altro verso dello spazio piano„.

“L’insieme delle rette orientate dello spazio ellittico si può immaginare riferito biunivocamente alle coppie di punti di una sfera euclidea, in modo che ai movimenti di una o dell’altra delle immagini corrispondono scorrimenti in un senso o nell’altro„.