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Determinazione del cammino libero medio

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E allora la sommatoria si ridurrà all’integrale di questa espressione preso rispetto ad $x$ per tutti i valori possibili di $x$ compresi tra $0$ ed $\infty$. Avremo

$\int _{0}^{\infty }\,{\text{N}}\,e^{-{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x}\,{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x\,dx\,={\text{N}}\,{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,\int _{0}^{\infty }\,e^{-{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x}\,x\,dx$,

e poiché in generale

$\int _{0}^{\infty }\,e^{-\alpha \,x}\,x^{n}\,dx\,=\,{\frac {n!}{\alpha ^{n\,+\,1}}}$

nel caso presente sarà

$\int _{0}^{\infty }\,e^{-{\frac {\pi \,\varrho ^{2}}{l^{3}}}\,x}\,x\,dx\,=\,\left({\frac {l^{3}}{\pi \,\varrho ^{2}}}\right)^{2}$

e quindi l’ultima espressione si ridurrà ad

46)	${\text{N}}\,{\frac {l^{3}}{\pi \,\varrho ^{2}}}$

e questa espressione è il valore della sommatoria che costituisce il numeratore della 44). Se dividiamo dunque per N la 46) otterremo il valore cercato per il cammino libero medio delle molecole ossia

47)	$\lambda \,=\,{\frac {l^{3}}{\pi \,\varrho ^{2}}}$

che potrà anche scriversi

48)	$\lambda \,=\,{\frac {1}{\pi \,n\,\varrho ^{2}}}$