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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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Ora, per i teoremi fondamentali sui complementi algebrici, il coefficiente di $\alpha _{1}$ in questa equazione vale 1, mentre i coefficienti di $\alpha _{2},\alpha _{3}$ sono nulli. Dunque tutta questa espressione è proprio uguale ad $\alpha _{1}$; e la prima delle (1) è soddisfatta dalle (3). Altrettanto si può ripetere per le altre equazioni (1).

Esaminando le (3) si vede che il nostro risultato si può enunciare così:

Dato un sistema di n equazioni di primo grado ad n incognite col determinante dei coefficienti diverso da zero tutte le incognite risultano determinate. E precisamente ogni incognita è uguale alla frazione che ha per denominatore il determinante dei coefficienti e per numeratore il determinante che si ottiene sostituendo nel determinante dei coefficienti alla colonna dei coefficienti dell’incognita stessa la colonna dei termini noti.

Così, per esempio, il determinante dei coefficienti del sistema

$3x+2y+5z=2$

$x-7y+4z=0$

$9x+2y+3z=1$

è:

$\Delta ={\begin{vmatrix}3&2&5\\1&-7&4\\9&2&3\end{vmatrix}}=304$.

Il sistema dato è quindi soddisfatto soltanto dalle:

$x={\frac {\begin{vmatrix}2&2&5\\0&-7&4\\1&2&3\end{vmatrix}}{304}}=-{\frac {15}{304}}$;

$y={\frac {\begin{vmatrix}3&2&5\\1&0&4\\9&1&3\end{vmatrix}}{304}}={\frac {59}{304}}$;

$z={\frac {\begin{vmatrix}3&2&2\\1-7&0\\9&2&1\end{vmatrix}}{304}}={\frac {107}{304}}$.

Un caso particolare notevole.

Siano $\alpha _{i},\beta _{i},\gamma _{i}$, i coseni di direzione di tre rette $r_{z}$ a due a due ortogonali. Risolviamo le equazioni

(1)	${\begin{cases}\alpha _{1}x+\beta _{1}y+\gamma _{1}z=1\\\alpha _{2}x+\beta _{2}y+\gamma _{2}z=0\\\alpha _{3}x+\beta _{3}y+\gamma _{3}z=0.\end{cases}}$

Il determinante del sistema è (pagina 80, esempio 2°)

(2)	${\begin{vmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\\\alpha _{3}&\beta _{3}&\gamma _{3}\end{vmatrix}}=\varepsilon$,

dove $\varepsilon$ indica il numero $+1$, o il numero $-1$.