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CAPITOLO VI - § 36

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Così, p. es., la funzione $y={\frac {1}{x-a}}$ è continua dappertutto, eccetto che nel punto $x=a$, dove essa non è definita. Il punto $x=a$, dove essa non è definita. Il punto $x=a$ è il punto singolare di questa funzione nell'intervallo $(\infty ,+\infty$. In questo caso percò esiste il $\lim _{x=a}y$ e si ha $\lim _{x=a}y=\infty$

Ogni qualvolta una funzione continua $f(x)$ ha il punto $x=a$ come punto singolare, ed è $\lim _{x=a}f(x)=\infty$, noi diremo che $x=a$ è un punto d'infinito di $f(x)$, o nche che $f(x)$ vi diventa infinita.

A meno di esplicita dichiarazione in contrario, noi, quando parleremo di funzioni continue in un intervallo, escluderemo sempre che possaggano punti singolari in tale intervallo.

$\delta$) Sia $y=f(z),z=\varphi (x)$ e sia $\lim _{x=a}\varphi (x)=b$. Sia la $y$ continua per $z=b$; e si possa considerare la $y=f[\varphi (x)]$ come funzione della $x$ in un intorno del punto $x=a$. Dico che

$\lim _{x=a}f[\varphi (x)]=f[\lim _{x=a}\varphi (x)]=f(b)$,

ossia che il simbolo f di funzione continua si può permutare col simbolo di limite. Infatti, poichè $f(z)$ è continua per $z=b$, è $\lim _{z=b}y=\lim _{z=b}f(z)=f(b)$. E quindi (§ 35, $\delta$, pag. 116) anche

$\lim _{x=a}y=\lim _{x=a}f[\varphi (x)]=f(b).$ c.d.d.

Così, p. es., $\lim _{x=n}\log f(x)=\log[\lim _{x=a}f(x)]$, se il $\lim _{x=a}f(x)$ è finito e positivo, cioè brevemente, ma incompletamente: Il limite del logaritmo è uguale al logaritmo del limite.

Se $\lim _{x=a}f(x)$ esiste ed è uguale ad un numero b finito

$\lim _{x=a}h^{f(x)}=h^{h}$ (supposto $h>0$<).

Se $\lim _{x=a}f(x)=b$ si ha $\lim _{x=a}\operatorname {sen} f(x)=\operatorname {sen} b$, ecc.

$\epsilon$) Se $z=\varphi (y),y=f(x)$ sono funzioni continue, e se z si può considerare come funzione di x in tutto un intervallo (a, b), la z è in tale intervallo funzione continua della x.

Esempi.

1° Si dimostri che $x^{c}(c=$cost,. $x>0$) + continua.

Ris. Infatti $x^{c}=a^{y}$, dove $y=\log _{a}(x^{c})=c\log _{a}x$. Poichè $a^{y}$ è continua, $y=f(x)=c\log _{a}x$ è pure continua, anche $x^{c}$ è continua.