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CAPITOLO VI - §38

Questa osservazione rende intuitivo il teorema che dobbiamo ora esporre.

Si dice che una funzione reale $y=f(x)$ è crescente, se essa cresce al crescere della $x$ , o più precisamente, se, indicati con $x_{1},x_{2}$ due punti qualsiasi del gruppo G ove la $f(x)$ è definita tali che $x_{1}>x_{2}$ , si ha $f(x_{1})>f(x_{2})$ .

La y si dice decrescente, se invece dalla $x_{1}>x_{2}$ segue $f(x_{1})<f(x_{2})$ , ossia se la y decresce al crescere della $x$ (come p. ed., avviene se y è inversamente proporzionale ad $x>0$ .

La $y=f(x)$ si dice non crescente, oppure non decrescente se dalla $x_{1}\geq x_{2}$ , segue $f(x_{1})\leq f(x_{2})$ , oppure $f(x_{1})\geq f(x_{2})$ .

Se una funzione non è crescente, o non è decrescente in un dato gruppo G di punti, si dice che la funzione varia sempre nello stesso verso (senso) nel gruppo G.

Teor. Se f(x) è una funzione definita nel gruppo G, che varia sempre nello steso verso e se in ogni intorno (p. es. sinistro) del punto x $=$ a esistono punti di G distinti da a, esiste il $\lim _{x=n-0}$ f(x).

Supponiamo per fissar le idee che $f(x)$ non sia decrescente a sinistra del punto a e che si voglia dimostrare l'esistenza del $\lim _{x=a-0}f(x)$ . noi dimostreremo che tale limite è precisamente il limite superiore L dei valori che f(x) assume, quando x assume i valori di G più piccoli (a sinistra) di a.

Distinguiamo due casi:

1° L è finito. Sia n un intero così grande che ${\frac {1}{10^{n}}}$ sia minore di un ε prefissato. Trai citati valori di $y$ ne esisterà almeno uno (p. es. quello $f(c)$ assunto da $y$ nel punto $x=c<a$ ) che è uguale ad $L$ fino alla $n^{esima}$ decimale (e ciò per la stessa definizione di limite superiore). I valori che y assume nei punti G dell'intervallo (c, a) non possono nè superare il limite superiore L, nè essere inferiori a $f(c)$ (perchè y è per ipotesi funzione non decrescente).