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FUNZIONI, LIMITI

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Per il teor. di Ruffini (essendo $\alpha _{1}$ radice di $P(z)=0$) il polinomio $P(z)$ è divisibile per $z-\alpha _{1}$, cosicchè $P(z)=(z-\alpha _{1})P_{1}(z)$ ove $P_{1}(z)$ è un polinomio di grado $n-1$, il quale a sua volta ammetterà almeno una radice $\alpha _{2}$. Sarà perciò $P_{1}(z)=(z-\alpha _{2})P_{2}(z)$ e $P(z)=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})P_{z}(z)$ dove $P_{2}(z)$ è un polinomio di grado $n-2$ che possiederò almeno una radice $\alpha _{1}$, ecc., ecc. Si trova così in conclusione che $P(z)=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})$. Questa decomposizione in fattori è unica. Se infatti per altra via si trovasse anche

$P(z)=(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})\cdots (z-\beta _{n})$.

allora sarebbe

$(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})=(z-\beta _{1})(z-\beta _{2})\cdots ((z-\beta _{n})$.

Dividendo, caso mai, i due membri per i fattori di primo grado comuni ad entrambi, ne dedurremo un'uguaglianza del medesimo tipo, in cui però nessuna dele α è uguale ad una delle β. Passando allora al limite per $z=\alpha _{1}$, il primo membro avrebbe limite nullo, il secondo membro avrebbe limite differente da zero; ciò che è assurdo. Dunque i fattori $z-\alpha$ del primo membro devono (tutt'al più in altro ordine) coincidere ciascuno con uno dei fattori $z-\beta$ del secondo membro; e viceversa. Il teorema di Gauss è così completamente provato.

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