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CAPITOLO VI - § 41

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Noi, perciò. studieremo specialmente il caso $n=2$: metodi e risultati sono però generali.

Intorno00 di un punto di ascissa a ed ordinata b' si dice il quadrato lungo dei punti ($x,y$), per cui $|x-a|\leq \sigma ,|y-b|\leq \sigma$ dove \sigma</math> è una qualsiasi costante positiva.

Le definizioni di limite, di funzione continua, date nei paragrafi 32, 33, 35, 36, e i teoremi relativi si estendono quasi parola per parola al caso attuale.

Basta soltanto parlare di area piana connessa (area rettangolare, circolare, ellittica, ecc.) invece che di intervallo.

Noteremo che, se z è una funzione $f(x,y)$ delle variabili $x,y$ in un'area piana S, allora se poniamo $x=x_{0}$ dove $x_{0}$ è una costante, la $f(x,y)$ diventa una funzione $f(x_{0}),y$ della sola variabile $y$, che esiste per tutti e olo i valori di $y$, tali che i punti $(x_{0},y)$ della retta $x=x_{0}$ appartenga ad S¹; un fatto perfettamente analogo si presenta se si pone $y=y_{0}$ ($y_{0}=$ cost.).

Ciò si suol esprimere dicendo che la $f(x,y)$ se si considera la $x$ oppure la $y$ come costante, diventa una funzione della sola $y$, o della sola $x$.

Per le funzioni continue di due o più variabili si possono pure estendere i teoremi dell'ultimo § 40.

Si può da ciò dedurre una dim. del teor. di Gauss già anuncaito al § 14, α. Cominciamo a dimostrare che ogni equazione algebrica $P(x)=z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}=0$ ammette almeno una radice. Posto $z=x+iy$, il modulo $|P(z)|$ è una funzione continua di $x$ ed $y$. Di più notiamo che

$|P(z)|=|z|^{x}|1+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{z^{n}}}|$.

Potremo evidentemente scegliere una costante $\rho$ così grande che

α) $\rho >1$ cioè che il punto $z=1$ sia interno al cerchio C di equazione $|z|^{2}=x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}$.

β) per $|z|>\rho$ sia $|z|^{n}>2|P(1)|$.

γ) Per $|z|>\rho$ sia $|1+{\frac {a_{1}}{z}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{z^{n}}}|>{\frac {1}{2}}$.

Dunque, se $|z|>\rho$, cioè se z è esterno a C, è $|P(z)|>|P(1)|$.

Per il teor. di Weierstrass esiste dentr, o sulla periferia di C ² almeno un punto $\alpha _{1}$, ove $|P(z)|$ è minimo, cioè assume un valore $|P(\alpha _{1})|$, che non è superiore al valore di $|P(z)|$ in ogni altro punto interno a C o posto sulla periferia di C cosicchè in particolare $|P(\alpha _{1})|$ non potrà superare $P(1)|,equindi''neanche''alcunodeivaloriassuntida<math>|P(z)|$, quando z è fori di C . Perciò $P(\alpha _{1})|$ è il minimo di tutti i possibili valori che assume $P(\alpha _{1})=0$, perchè altrimenti (§ 9, pag. 34-35) esisterebbe un valore di z tale che ivi $|P(z)|$ ha un valore minore di $|P(\alpha _{1})|$.

1. Naturalmente se la retta $x=x_{0}$ non avesse punti comuni con S, non avrebbe senso parlare dela funzione $f(x_{o},y)$.
2. Perchè la regione intera a C è finita; il teor. cit. non vale per regioni illimitate.