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SERIE

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Se le $u_{n}$ sono numeri complessi, se, p. es., $u_{n}=v_{n}+iw_{n}(v_{n},w_{n}{\text{reali}})$, dire che la serie delle $u_{n}$ converge ed ha per somma $a+ib$ equivale a dire che la serie delle $v_{n}$ converge ed ha per somma a e che la serie delle $w_{n}$ converge ed ha per somma b.

Il lettore cerchi gli errori della seguente dimostrazione che conduce ad erronei risultati. È

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+\cdots \right)$.

Donde

$\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)+\cdots =1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots$

cioè

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+\cdots =1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots$

Poichè ${\frac {1}{3}}>{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}}>{\frac {1}{6}}$ ecc., se ne deduce

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots >{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+\cdots =1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots$

cioè ${\frac {1}{2}}>1$, ciò che è assurdo.

β) Se a, q sono numeri qualsiasi, la serie

$a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots$

è convergente se $|q|<1$, perchè in tal caso la somma $s_{n}$ dei primi n termini è data dalla

$s_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$,

ed ha per $n=\infty$ il limite ${\frac {a}{a-q}}$; cosicchè

${\frac {a}{1-q}}=a+aq+aq^{3}+\cdots$

Una tal serie si dice una progressione geometrica decrescente.

Se $|q|>1$ (e $a\not =0)$ la nostra serie diverge, perchè la $s_{n}=a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$ ha per $n=\infty$ il limite $\infty$.

Se $a\not =0,q=1$, la serie è divergente, perchè la somma $s_{n}=na$ dei primi n termini ha ancora per $n=\infty$ il limite infinito.

Se $a\not =0,q=-1$ la serie è indeterminata, perchè la somma $s_{n}$ è uguale a $+a$ per n dispari, a zero per n pari, e quindi non tende ad alcun limite per $n=\infty$. Altrettanto avviene (come si potrebbe provare) se $|q|=1$, e q è complesso.

Se $a=0$, a nostra serie è convergente, ed ha somma nulla.