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CAPITOLO VII - § 43

non può divergere. Quindi, per il teorema precedente, la (1) converge (perchè nè diverge, nè è indeterminata). Di più dalla (4) segue che $s=\lim _{n=\infty }s_{n}\leq \sigma$ .

γ) In particolare se $b_{n}=bq^{n}$ , dove $0<q<1,b>0$ , ossia se la (2) è una progressione geometrica decrescente (che noi sappiamo già convergente), si ha:

Se i teoremi della serie

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$

sono positivi, ed esistono due numeri positivi b, q, tali che $q<1$ e che

$a_{n}\leq bq^{n}$ ,

allora la nostra serie converge.

E in modo analogo si vede che, se fosse

$a_{n}\geq bq^{n}$ ,

dove $q\geq 1,b>0$ ,

la serie $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$

sarebbe divergente.

δ) Supponiamo ora che esista un numero $k<1$ , tale che per tutti i valori di $n$ sia

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq k<1$ ¹.

Ciò equivale a supporre che il limite superiore dei rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sia un numero minore di 1.

↑ Da questo segue che i rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sono minori di 1. Non è però vero viceversa che, se tutti questi rapporti sono minori di 1, allora esista necessariamente una tale numero k minore di 1, e non minore dei nostri rapporti (come avverrebbe se i rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ fossero in numero finito); e ciò perchè potrebbe avvenire che il limite superiore di tali rapporti fosse proprio uguale ad 1. Infatti, per esempio, nella serie divergente ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots$ è $u_{n}={\frac {1}{n}},{\frac {u_{n}+1}{u_{n}}}={\frac {n}{n+1}}=\left[1-{\frac {1}{n+1}}\right]$ . Tutti questi rapporti sono minori di 1. Ciò nonostante, se k è un qualsiasi numero positivo minore di 1, si può trovare un intero h così grande che per $m>h$ sia $1-{\frac {1}{m+1}}>k$ . Dunque, pure essendo tutti i nostri rapporti minori di 1, ciò nonostante, preso un qualsiasi numero $k<1$ , infiniti dei nostri rapporti sono maggiori di k, perchè il loro limite superiore è proprio uguale ad 1.

[1] Da questo segue che i rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ sono minori di 1. Non è però vero viceversa che, se tutti questi rapporti sono minori di 1, allora esista necessariamente una tale numero k minore di 1, e non minore dei nostri rapporti (come avverrebbe se i rapporti ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ fossero in numero finito); e ciò perchè potrebbe avvenire che il limite superiore di tali rapporti fosse proprio uguale ad 1. Infatti, per esempio, nella serie divergente ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots$ è $u_{n}={\frac {1}{n}},{\frac {u_{n}+1}{u_{n}}}={\frac {n}{n+1}}=\left[1-{\frac {1}{n+1}}\right]$ . Tutti questi rapporti sono minori di 1. Ciò nonostante, se k è un qualsiasi numero positivo minore di 1, si può trovare un intero h così grande che per $m>h$ sia $1-{\frac {1}{m+1}}>k$ . Dunque, pure essendo tutti i nostri rapporti minori di 1, ciò nonostante, preso un qualsiasi numero $k<1$ , infiniti dei nostri rapporti sono maggiori di k, perchè il loro limite superiore è proprio uguale ad 1.

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