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SERIE

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Esempi

1° La serie $w_{1}+w_{2}+\cdots$, dove $w_{1}=1,w_{n}={\frac {x^{n-1}}{\lfloor {n-1}}}$ converge assolutamente per ogni valore (anche complesso) della $x$ perchè il rapporto

$\left|{\frac {w_{n}+1}{w_{n}}}\right|=\left|{\frac {x^{n}}{\lfloor {n}}}\right|:\left|{\frac {x^{n-1}}{\lfloor {n-1}}}\right|=\left|{\frac {x}{n}}\right|$

tende a zero per $n=\infty$. Dal teor. ε) del § 42 segue in particolare che $\lim _{n=+\infty }{\frac {x_{n}}{\lfloor {n}}}=0$.

2° Studiamo ora la serie $1+u_{1}+u_{2}+\cdots$ ove si è posto: $u_{n}={\frac {m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{n}}{\lfloor {n}}}$ ossia la serie $1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m(m-1}{1.2}}x^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{1.2.3}}x^{3}+\cdots$

dove m è una qualsiasi costante.

Se m è un intero positivo, tutti i termini dopo lo $(m+1)^{esimo}$ sono nulli e sla serie si riduce ad un polinomio uguale (§ 11, pag. 44) ad $1+x)^{m}$.

Se m non è un intiero positivo, allora si noti che:

$\left|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=\left|{\frac {\frac {m(m-1)\cdots (m-n+1)(m-n)}{\lfloor {n+1}}}{\frac {m(m-1)\cdots (m-n+1)}{\lfloor {n}}}}{\frac {x^{n+1}}{x^{n}}}\right|=\left|{\frac {m-n}{n+1}}\right||x|$

$=|x|\left|{\frac {{\frac {m}{n}}-1}{1+{\frac {1}{n}}}}\right|$;

e quindi

$\lim _{n=\infty }\left|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=|x|$.

Se dunque $|x|<1$, la nostra serie converge assolutamente.

E in particolare ne consegue che, se $|x|<1$, allora

$\lim _{n=\infty }{\frac {m(m-1)(m-2)\cdots (m-n+1)}{\lfloor {n}}}x^{n}=0$.