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CAPITOLO VIII — § 47

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che la velocità all0istante $x$ è quella funzione $F8x)$ della $x$, che è definita dalla

$F(x)=\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$,

se un tale limite esiste.

γ) Se noi immaginiamo noto a priori il significato della frase:“velocità all'istante x”, possiamo usare un'altra forma di ragionamento, che ci servirà anzi come modello per altri problemi analoghi.

Se la velocità $F(x)$ si mantenesse costante nell'intervallo $(x,x+h)$, lo spazio $f(x+h)-f(x)$ percorso in tale intervallo di tempo sarebbe proprio uguale al prodotto $hF8x)$ della velocità $F8x)$ per il tempo $h$ impiegato a percorrerlo. Ma $F(x)$ può variare (se, come capita in pratica, $F(x)$ è funzione continua) nel dato intervallo da n valore minimo $m$ ad un valore massimo $M$. Lo spazio percorso sarà quindi compreso tra $hm$ ed $hM$, che misurano rispettivamente gli spazi percorsi nel caso che la velocità abbia costantemente il valore minimo $m$ o il valore massimo $M$¹. Quindi $f(x+h)-f(x)=h\mu$ dove $\mu$ è un valore compreso tra $m$ ed $M$, ossia il valore $F(x+\lambda )$ che $F$ assume in un certo punto $x+\lambda$ (a noi generalmente ignoto) dell'intervallo $(x,x+h)(|\lambda |\leq |h|)$. Dalla $f(x+h)-f(x)=hF(x+\lambda )$ si trae:

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=F(x+\lambda )$,

donde, passando al limite per $h=0$, e ricordando che $\lambda$ tende a zero per $h=0$, si ha appunto:

$F(x)=\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

δ) In generale, se $y$ è una grandezza variabile col tempo $x$, che è una funzione $y=f(x)$ di $x$, il limite precedente si chiama la velocit di variazione di $y$. Così, se $y$ è la qualità di una certa sostanza che si è formata o si è decomposta in una certa reazione chimica, tale limite ha il nome di velocità di reazione. Se $y$ è la quantità di elettricità passata in un dato circuito all'istante $x$, tale limite ha il nome di intensità di corrente.

1. Che a velocità maggiore corrisponda spazio percorso maggiore è un postulato direttamente suggerito dalla intuizione.