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DERIVATE, DIFFERENZIALI

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Cosicchè la velocità media in tale intervallo di tempo è

${\frac {h}{k}}=gx+{\frac {1}{2}}gh$.

Quanto più perfetto è il metodo di misura, tanto più piccoli sono gli intervalli di tempo, che si sanno apprezzare.

Ora, quanto più piccolo è l'intervallo di tempo $(x,x+h)$ ossia quanto più piccolo è $h$, tanto più piccolo è il termine ${\frac {1}{2}}gh$. Anzi questo termine è sperimentalmente trascurabile se $h$ è molto piccolo. Per questa ragione diciamo che la velocità all'istante $x$ vale $gx$: cioè poniamo per definizione tale velocità uguale al

$\lim _{h=0}{\frac {k}{h}}=\lim _{h=0}{\frac {{\frac {1}{2}}g(x+h)^{2}-{\frac {1}{2}}gx^{2}}{h}}=gx$.

Così p. es. la velocità all'istante $x=3$ vale $3g=3\cdot 9,81=29,4\cdots$ (che è in perfetto accordo coi valori sopra determinati).

Come si vede, questa velocità $gx$ varia con $x$, è una nuova funzione della $x$. E da questo risultato deduciamo anzi il ben noto teorema di Galileo che le velocità sono proporzionali al tempo $x$ di libera caduta.

β) Applichiamo le considerazioni precedenti al caso generale. Sia $M$ un punto mobile con legge qualsivoglia, p. es. su una retta orientata $OX$. Dopo un certo numero $x$ di minuti secondi la distanza $y=OM$ sia uguale a un certo numero $f(x)$ di metri ($y$ funzione di $x$). Quale significato avrà la frase: velocità $M$ all'istante $x=a$?

Usiamo un procedimento analogo al precedente.

Dopo $a$ secondi la distanza $OM$ è $f(a)$;

“

$a+h$

”

$f(a+h)$

Dunque nell'intervallo $(a,a+h)$ di $h$ minuti secondi lo spazio percorso è $k=f(a+h)-f(a)$. La velocità media in tale intervallo di tempo è quindi

${\frac {k}{h}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$.

Noi chiameremo velocità di $M$ all'istante $a$ il limite (se un tale limite esiste) del precedente rapporto per $h=0$. Questo limite varierà generalmente al variare dell'istante $a$ considerato. E per indicare che $a$ può ricevere uno qualsiasi dei valori dati alla $x$, noi indicheremo $a$ con la stessa lettera $x$, dicendo così