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CAPITOLO VIII — § 47

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significato fisico, sia perchè $4,905$ è un numero solamente approssimato, sia perchè non sono sperimentalmente apprezzabili frazioni di secondo tanto piccole. Checchè sia di ciò, noi troveremmo che la velocità media in un intervallo di tempo che comincia dopo il terzo secondo, diminuisce con l'ampiezza dell'intervallo e finisce per intervalli di tempo inferiori p. es. al millesimo di secondo, con l'essere sensibilmente uguale a $29,4\dots$. Ma si suole parlare, tanto oin fisica che nel linguaggio comune, della velocità che ha il grave p. es. all'instante $x=3$ (dopo $3''$ di libera cadura); si suole dire anche volgarmente: il grave dopo $3''$ aveva la velocità di tanti metri al minuto secondo. È ben chiaro il significato che uno sperimentatore darebbe a una simile frase: velocità del grave all'istante $x=3''$. Supposto, per fissare le idee, che il millesimo di secondo sia il minimo intervallo di tempo, che egli sappia apprezzare e misurare coi mezzi sperimentali che ha a sua disposizione, egli chiamerebbe la velocità media del grave nell'intervallo ($3'';3'',001$) la velocità dell'istante $x=3$.

Così un macchinista di un treno, che difficilmente può apprezzare intervalli di tempo inferiori al minuto secondo, potrà dire che, p. es., alle ore $4$ egli aveva raggiunto la velocità di </math>100</math>km. all'ora (cioè m. ${\frac {100.000}{3600}}={\text{m}}.27,77$ al minuto secondo) se nell'intervallo di tempo trascorso dalle ore $4$ alle ore $4$ èiù un minuto secondo egli ha percorso m. $27,77z$. Questa definizione diremo così, sperimentale della frase: velocità all'istante x è sufficiente in pratica.

Dal punto di vista della teoria essa darebbe origini a gravi dificoltà, p. es., per il fatto che il minimo intervallo di tempo apprezzabile varia da caso a caso, può variare col perfezionarsi dei metodi di misura; mentre invece noi vogliamo una definizione che, per trascendendo i bisogni della pratica, sia adottabile in ogni caso. Riprendendo lo studio della caduta di un grave, notiamo che lo spazio $y$ percorso in $x$ secondi vale ${\frac {1}{2}}gx^{2}$, mentre lo spazio $y+k$ percorso nei primi $x+h$ secondi vale ${\frac {1}{2}}g(x+h)^{2}$. Lo spazio $k$ percorso nell'intervallo di tempo $x,x+h)$ vale dunque:

$k={\frac {1}{2}}g(x+h)^{2}-{\frac {1}{2}}gx^{2}=gxh+{\frac {1}{}}gh^{2}$.