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DERIVATE, DIFFERENZIALI

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Dimostreremo altrove che questa figura possiede un'area (che cioè le sue aree esterna ed interna sono uguali).

Fig. 17.

Ed anche senza ammettere tale teorema, il lettore noti che le seguenti considerazioni (da noi svolte per l'area di tale rettangoloide) valgono del resto tanto per l'area esterna che per l'area interna (cfr. § 7, pag. 25).

Tale area sarà una funzione $A(x)$ dell'ascissa variabile $x$. Noi non sappiamo per ora calcolare tale area, qualunque sia la funzione $f(x)$ ma, come ora vedremo, sappiamo in ogni caso calcolarne la derivata $A'(x)$.

Per calcolare tale derivata, diamo alla $x$ un incremento positivo $h$ (ad identito risultato si giunge con ragionamenti analoghi se $h<0$.

L'incremento $\Delta A=A(x+h)-A(x)$ ricevuto dalla nostra area sarà l'area del rettangolo limitato dall'asse delle $x$, dalla nostra curva, e dalle ordinata dei punti $b$ e $C$ di ascissa $x$ ed $x+h$. Se in questo intervallo la $f(x)$ conservasse un valore costante, la curva $y=f(x)$, sarebbe in questo intervallo un segmento parallelo all'asse della $x$; la nostra figura sarebbe un rettangolo di base $h$ e di altezza $y=f(x)$, cosicchè la sua area $\Delta A$ sarebbe uguale ad $hf(x)$. Ma $f(x)$ può variare nel nostro intervallo da un minimo $m$ ad un massimo $M$; cosicchè la nostra figura contiene all'interno il rettangolo di base $h$ ed altezza $m$, ed è contenuta nel rettangolo di base $h$ ed altezza $M$. La sua area $\Delta A$ è perciò compresa tra i numeri $hm$ ed $hM$, ossia sarà uguale ad $h\mu$, essendo $\mu$ il valore assunto dalla $f(x)$ in un punto $x+\lambda$ dell'intervallo (math>x, x+h)</math>. Dalla

$\Delta A=hf(x+\lambda )$

abbiamo

${\frac {\Delta A}{h}}=f(x+\lambda )$

cosicchè

$A'(x)=\lim _{h=0}{\frac {\Delta A}{h}}=\lim _{h=0}f(x+\lambda )=\lim _{\lambda =0}(f+\lambda )=f(x)$.