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CAPITOLO VIII — § 49

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δ) Sia data una curva $y=f(x)$ definita in un intorno destro o sinistro di $\infty$; poniamo, p. es., nell'intorno $(a,+\infty )$ di $\infty$. La retta tangente nel punto di ascissa $x_{0}$ ha per equazione

$y-y_{0}=(x-x_{0})f'(x)$ ossia $y=xf'(x_{0})+[f(x_{0})-x_{0}f'(x-_{0})]$.

Se per $x_{0}=\infty$ le $f'(x_{0}){\text{e}}f(x_{0})-x_{0}f'(x)$ hanno limiti finiti $m,n$ la retta che ha per equazione $y=mx+n$ si dirà asintoto della curva, nel punto di ascissa infinita (e si considererà come la posizione limite della tangente considerata per $x_{0}=\infty$).

Così pure, se $f(x)$ è definita per $x\not =a$, e se, quando $x_{0}$ è in un intorno di a, si ha $f'(x)\not =0$, allora l'equazione della tangente nel punto di ascissa $x$, si può scrivere:

${\frac {y}{f'(x_{0})}}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}=x-x_{0}$.

Se è $\lim _{x_{0}=a}f(x)=\infty$, $\lim _{x_{0}=a}f'(x_{0})=\infty$, $\lim _{x_{0}=a}{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}=0$¹, allora la retta che ha l'equazione $x-a=0$ [che si deduce dalla precedente passando al limite per $x_{0}=a$] si chiama ancora asintoto della nostra curva nel punto di ascissa a.

Cos', p. es., la curva $xy=1$ ha per tangente nel punto di ascissa $x_{0}$ la retta

$y-{\frac {1}{x_{0}}}=-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}(x-x_{0})$.

Passando al limite per $x_{0}=0$ e per $x_{0}=\infty$ si trova che asintoti di tali curve sono le rette $x=0,y=0$, ossia gli assi coordinati.

Esempi.

1° Sia $y=f(x)$ una funzione continua e non negativa per $a\leq x\leq b$. Consideriamo la figura piana (fig. 17) racchiusa tra l'asse delle $x$, la curva $y=f(x)$, e le perpendicolari all'asse delle ascisse innalzate dal punto $A$ di ascissa $a$ e dal punto $B$ di ascissa variabile $x>a$.

Ad una tale figura daremo il nome di rettangoloide.

1. Si potrebbe dare a queste condizioni (non tutte tra loro indipendenti) una forma che almeno apparentemente fosse meno restrittiva.