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CAPITOLO VIII — § 52

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3° $\alpha$ è infinito di ordine superiore a β;

4° α è infinito di ordine inferiore a β secondo che:

                              1°) $\lim {\frac {\alpha }{\beta }}$ non esiste,

                              2°) $\lim {\frac {\alpha }{\beta }}$ è finito e diverso da zero,

                              3°) $\lim {\frac {\alpha }{\beta }}=\infty$,

                              4°) $\lim {\frac {\alpha }{\beta }}=0$.

Le considerazioni precedenti hanno un grande interesse, perchè in molti problemi è lecito trascurare gli infinitesimi di ordine superiore. Eccone qui un primo esempio. Un altro esempio assai più importante sarà dato più avanti.

Se α, β, γ, δ sono funzioni della x infinitesime per x=b, se γ, δ sono rispettivamente di ordine superiore ad α e β, allora per trovare il

$\lim _{a=b}{\frac {\alpha +\gamma }{\beta +\delta }}$

si possono trascurare questi infinitesimi, γ, δ di ordine superiore, ossia

$\lim {\frac {\alpha +\gamma }{\beta +\delta }}=\lim {\frac {\alpha }{\beta }}$.     ¹

Infatti

${\frac {\alpha +\gamma }{\beta +\delta }}={\frac {\alpha }{\beta }}{\frac {1+{\frac {\gamma }{\alpha }}}{1+{\frac {\delta }{\beta }}}}$.

Poichè $\lim {\frac {\gamma }{\alpha }}=\lim {\frac {\delta }{\beta }}=0$ è $\lim _{x=b}{\frac {1+{\frac {\gamma }{\alpha }}}{1+{\frac {\delta }{\beta }}}}=1$          c.d.d.

1. Si potrebbe anche supporre che γ e δ fossero entrambi di ordine superiore rispetto ad α oppure a β. Basta osservare che ${\frac {\alpha +\gamma }{\beta +\delta }}={\frac {{\frac {\alpha }{\beta }}+{\frac {\gamma }{\beta }}}{1+{\frac {\delta }{\beta }}}}={\frac {1+{\frac {\gamma }{\alpha }}}{{\frac {\beta }{\alpha }}+{\frac {\delta }{\alpha }}}}$, ecc.