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derivate, differenziali

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Si potrà così scrivere in generale

$df=f'(x)dx$,

cioè il differenziale della funzione f(x) è uguale alla sua derivata moltiplicata per il differenziale della variabile indipendente x.

Se ne deduce                     $f'(x)={\frac {df}{dx}}$,

cioè la derivata di una funzione $f(x)$ è uguale al rapporto tra il differenziale della funzione e quello della variabile indipendente x.

§ 54. — Metodi abbreviati di esposizione.

In molti trattati (specialmente di scienze applicate) si scrive spesso $df$ al posto di $\Delta f$. Rigorosamente ciò è lecito, soltanto se $df=\Delta f$ cioè (§ 53, pag. 176) se la curva coincide con la sua tangente, ossia è una retta ed $f$ è quindi una funzione lineare di $x$.

Il sostituire $df$ a $\Delta f$ equivale a trascurare un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $dx$: e già abbiamo detto che in qualche studio il trascurare siffatti infinitesimi non conduce ad errori.

Il procedere in questo modo permette di esporre molti ragionamenti in modo specialmente semplice e rapido; così si può procedere senza tema d'errori, quando riguardino tali esposizioni soltanto come procedimenti abbreviati, che hanno significato logico solo quando si può dar loro quella forma precisa, a cui conducono le nostre definizioni.

Il modo più semplice di chiarire questi metodi abbreviati di locuzione sarà quello di trattare con essi alcuni degli esempi svolti ai §§ 47, 49. Sia (§ 47, pag. 158), p. es., $y=f(x)$ lo spazio percorso da un punto mobile all'istante $x$. Se ne determini la velocità $F(x)$ allo stesso istante. nell'intervallo infinitesimo $(x,x+dx)$ si può considerare come costante la velocità F(x)z/math> cosicchè lo spazio $f(x+dx)-f(x)=df$ percorso in detto intervallo sarà uguale al prodotto $F(x)dx$ della velocità $F(x)$