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derivate, differenziali

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Cerchiamo la derivata della $f(x)$. Supporremo $n=2$. La dimostrazione vale però affatto analoga in generale.

Si ha per definizione

$f'(x)=\lim _{h=0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h=0}{\begin{Bmatrix}{\frac {|\varphi _{1}(x+h)+\varphi _{2}(h+h)|-\varphi (x)+\varphi _{2}(x)|}{h}}\end{Bmatrix}}=$

$=\lim _{h=0}{\begin{Bmatrix}{\frac {\varphi (x+h)-\varphi _{1}(x)}{h}}+{\frac {\varphi _{2}(x+h)-\varphi _{2}(x)}{h}}\end{Bmatrix}}=$

$=\lim _{h=0}{\frac {\varphi _{1}(x+h)-\varphi _{1}(x)}{h}}+\lim _{h=0}{\frac {\varphi _{2}(x+h)-\varphi _{2}(x)}{h}}=\varphi '_{1}(x)+\varphi '_{2}(x)$.

Donde:

La derivata della somma di due o più funzioni, che posseggono derivata (finita), eiste ed è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni.

Questo teorema vale anche per funzioni complesse (cfr. § 50).

β) Oss. 1^a. Un caso particolare del precedente teorema è evidentemente il seguente:

Le derivate di $y=\varphi (x)$ e di $y=\varphi (x)+{\text{cost.}}$ sono uguali (poichè la derivata di $y={\text{cost.}}$ è nulla) (naturalmente, se esistono).

Si propone al lettore di illustrare categoricamente questo teorema, osservando che dalla curva $y=f(x)$ si passa alla $y=f(x)+{\text{cost.}}$ mediante una traslazione.

Nel caso che $y$ sia lo spazio percorso da un punto mobile all'istante $x$, quale significato assume quest'osservazione?

Oss. 2^a. Un teorema affatto analogo al precedente vale per la differenza di due funzioni; in particolare la derivata di $-f(x)$ è $-f'(x)$.

§ 56. — Derivata del prodotto di due o più funzioni.

Siano $\varphi (x)$ e $\psi (x)$ due funzioni derivabili (e quindi conitnue). Vogliamo trovare la derivata della funzione prodotto

Essa sarà uguale al limite per $h=0$ del rapporto incrementale

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\varphi (x+h)\psi (x+h)-\varphi (x)\psi (x)}{h}}$.