Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/200

184

CAPITOLO VIII — § 58

---

$y=\log _{a}x,x=a^{y}$, che le due derivate $y'_{z}={\frac {1}{x}}\log _{a}e{\text{e}}x'_{y}=a^{y}\log _{e}a$ sono reciproche, perchè $a^{y}=x,\log _{a}e\log _{e}a=1$.

Esercizi.

1° Si derivi $y={\sqrt[{n}]{x}}$.

Ris. Si ha $x=y^{n},x'_{y}=ny^{n-1},y'_{x}={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}=$

$={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x}}^{(n-1)}}}$, cosicchè la derivata $y=x^{n}$ vale:

$y'={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}(x\not =0)$.

2° Si derivi$y=x^{\frac {m}{n}}$.

Ris. È $y=\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{m}$, donde $y'=m\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{m-1}{\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}={\frac {m}{n}}x^{{\frac {m}{n}}-1}$.

3° Si derivi $y=x^{\frac {m}{n}}$.

Ris. È $y={\frac {1}{x^{\frac {m}{n}}}}$, donde $y'={\frac {-1}{x^{\frac {2m}{n}}}}{\frac {m}{n}}x^{{\frac {m}{n}}-1}=-{\frac {m}{n}}x^{{\frac {m}{n}}-1}$.

4° (Da tutte queste formole si trae che) la derivata di $y=x^{n}$ per ogni valore razionale di $n$ vale $y'=nx^{n-1}$.Più avanti estenderemo questa importante formola anche al caso di $n$ irrazionale. (Il lettore esamini il caso $x\leq 0$).

β) Sia $y={\text{sen}}x$ La curva immagine è la cosidetta sinusoide. Se ne ricava che $x={\text{arcsen}}y<math>(<maht>x$x=</math> arco, che ha il seno uguale ad $y$). Osserviamo però che, dato il valore $y$ ($|y|\leq 1$) del seno, l'arco $x$ corrispondente non è univocamente determinato, ma ha infiniti valori, come è ben noto, e come si può verificare dalla figura 21.

Questa rende ben evidente che, p. es., al valore $y={\frac {1}{2}}$ del seno corrispondono infiniti valori dell'arco $x$. La