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DERIVATE, DIFFERENZIALI

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corrispondenza si rende biunivoca, se noi ci limitiamo a considerare, p. es., i valori della $x$ compresi tra $-{\frac {\pi }{2}}$ e ${\frac {\pi }{2}}$. Ad ogni valore possibile $y$ di sen $x$ (cioè ad ogni valore $y$ dell'intervallo $[-1,+1]$ corrisponderà allora un solo valore di $x$; e vicevera. Sarà allora:

$x'_{y}=({\text{arcsen}}y)'_{y}={\frac {1}{y'_{x}}}={\frac {1}{({\text{sen}}x)'_{y}}}={\frac {1}{{\text{cos}}x}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\text{sen}}^{2}x}}}={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}$

per $|y|\not =1$.

L'ambiguità di segno dovuta al radicale ${\sqrt {1-y?}}$ è dovuta all'arbitrarietà con cui possiamo scegliere l'arco di sinusoide che rende biunivoca la corrispondenza tra $x,y$. Se adottiamo la convenzione fatta più sopra, siccome ${\sqrt {1-y^{2}}}$ è scritto al posto ${\text{cos}}x$, e ${\text{cos}}x$ per <math|x|<\frac{\pi}{2}</math> è positivo, si dovrà dare al radicale il segno $+$. Scambiando il significato delle lettere $x,y$ si ha: Se $y={\text{arcsen}}x,|y|<{\frac {\pi }{2}}$, è $y'=+{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.

γ) In modo simile si prova che, se $y={\text{arccos}}x$, e quindi $x={\text{cos}}y$, e se $0<y<\pi$, allora $y'_{x}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$. Ciò che si può controllare, osservando che nelle attuali convenzioni ${\text{arccos}}x+{\text{arcsen}}x={\frac {\pi }{2}}={\text{cost.}}$ e quindi ${\text{Arccos}}x={\text{cost}}-{\text{arcsen}}x$, cosicchè ${\text{arccos}}x{\text{ed arcsen}}x$ devono avere derivate uguali e di segno opposto.

δ) Vogliamo derivare a funzione $y={\text{arctg}}x$ inversa della $x={\text{tg}}y$. Anche qui, se si vuole rendere determinata la math>y</math> è biunivoca la corrispondenza tra le $x,y$ si deve limitare in qualche modo la variabilità della $y$, p. es., supponendo $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$. De. resto le varie possibili determinazioni della $y$ si ottengono aggiungendo a una di esse un multiplo di $\pi$, cioè una costante, e perciò hanno la stessa derivata. Si ha poi

$y'_{x}={\frac {1}{x'_{y}}}={\frac {1}{\left({\frac {1}{{\text{cos}}^{2}y}}\right)}}={\frac {1}{1+{\text{tang}}^{2}y}}={\frac {1}{1+x^{2}}}$.