Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/208

Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta.

192

CAPITOLO VIII — § 61 — DERIVATE, DIFFERENZIALI

Osserviamo che $d^{n}y=y^{(n)}dx^{n}$ è il differenziale di

$d^{(n-1)}y=y^{(n-1)}dx^{n-1}$

quando per un momento si consideri $dx$ come costante¹. Infatti in questa ipotesi la derivata di $d^{(n-1)}y$ , ossia di $y^{(n-1)}dx^{n-1}$ è $y^{(n)}dx^{n-1}$ , e il suo differenziale è $y^{(n)}dx^{n}$ .

Con queste convenzioni, la derivata $y^{(n)}$ si può scrivere nella forma ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$ .

γ) Abbiamo detto (§ 59, pag. 187) che, se $y=f(x)$ , allora

$dy=f'(x)dx$ ,

anche se $x$ non è la variabile indipendente.

Un teorema analogo non vale per i differenziali di ordine superiore al primo; tutte le volte che si introducono nel calcolo tali differenziali, bisogna prefissare quale è la variabile indipendente scelta, e non più mutarla nel resto del calcolo.

Basti ricordare che il differenziale secondo $d^{2}x$ della variabile indipendente $x$ è nullo, perchè la derivata seconda della $x$ rispetto alla $x$ è nulla.

Esempio.

Calcolare le derivate successive del polinomio:

$p(x)=a_{0}+a_{1}(x-\alpha )+a_{2}(x-\alpha )^{2}+\cdots +a_{n}(x-\alpha )^{n}$ .

Si trova:

$p'(x)=a_{1}+2a_{2}(x-\alpha )+3a_{3}(x-\alpha )^{2}+\cdots +na_{n}(x-\alpha )^{n-1}$

$p''(x)=\lfloor {2}a_{2}+3.2a_{2}(x-\alpha )+\cdots +n(n-1)a_{n}(x-\alpha )^{n-2}$

$\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,$

$\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,$

$p^{(i)}(x)=\lfloor {i}a_{i}+2.3.4\cdots (i+1)a_{i+1}(x-\alpha )+$

$3.4\cdots (i+2)a_{i+2}(x-\alpha )^{2}+\cdots +(n-i+1)(n-1+2)\cdots na_{n}(x-\alpha )^{n-}$

$\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,$

$p^{(n-1)}(x)=\lfloor {n-1}a_{n-1}+2\cdot 3\cdots 4\cdots (n-1)na_{n}(x-\alpha )$

$p^{(n)}(x)=\lfloor {n}a_{n}$ .

E le derivata successive, dalla $(n+1)^{esima}$ in poi, sono nulle.

↑ Cioè si considera $dx$ come indipendente dalla $x$ , ossia come avente uno stesso valore in ogni punto $x$ , e perciò come avente derivata nulla ruspetto alla $x$ .

[1] Cioè si considera $dx$ come indipendente dalla $x$ , ossia come avente uno stesso valore in ogni punto $x$ , e perciò come avente derivata nulla ruspetto alla $x$ .

1