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CAPITOLO IX — § 62

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sono positivi¹. Cioè $f(c+h)-f(c)$ è positivo; $f(c-h)-f(c)$ è negativo: cioè $f(c-h)<f(c)<f(c+h)$,                                         c. d. d.

β) Il teorema fondamentale del calcolo, di cui, si può dire tutti gli altri sono conseguenza, è un teorema intuitivo. Fig. 22. Sia $y=f(x)$ una curca $C$ dotata di tangente in ogni punto interno all'intervallo ($a,\,b$). La sola ispezione della figura 22 dimostra l'esistenza di un punto (nella figura quello di ascissa $c$ interno all'intervallo, in cui la tangente alla curva è parallela alla corda congiungente i punti della curva di ascissa $a,\,b$. Queste dye rette formeranno perciò angoli con l'asse delle $x$, e avranno quindi ugual coefficiente angolare; sarà cioè:

${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$.

Posto $b=a+h,\,c=a+k$, i numeri $k,h$ hanno lo stesso segno, e il valore assoluto di $k$ è minore di quello di $h$.

Posto dunque ${\frac {k}{h}}=\theta$, ossia $k=h\theta$, è $0<\theta <1$; e la nostra formola si scrive:

${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a+\theta h)$     ,     $(0<\theta <1)$.

Cioè un rapporto incrementale per la funzione f(x) è uguale alla derivata in un punto intermedio. Al limite (per $h=0$) esso diventa poi proprio la derivata nel punto $x=a$.

Questo importantissimo teorema si deve considerare intuitivo e in parte a noi già noto anche per le seguenti ragioni.

Noi sappiamo infatti che, se $f(x)$ è lo spazio percorso da un mobile all'istante $x$, allora ${\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$ rappresenta la

1. Prefissato un $\epsilon >0$, esiste un $k$ tale che per $0<h<k$ tali rapporti sono compresi (pag. 107) fra $f'(c)-\epsilon$ e $f'(c)+\epsilon$; cioè [se è stato scelto $\epsilon <f'(c)$] tra due quantità positive, e quindi sono essi stessi positivi.