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Teoremi fondamentali sulle derivate, ecc.

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$\varphi ^{(n+1)}(x)=\lfloor {n+1}$ si deduce il seguente teorema d'importanza fondamentale:

Se $\mathrm {f(x)}$ possiede le prime $\mathrm {n+1}$ derivate, e se $\mathrm {f(x)}$ insieme alle prime $\mathrm {n}$ derivate è nulla nel punto $\mathrm {a}$, allora

$f(x)={\frac {(x-a)^{n+1}}{\lfloor {n+1}}}f^{(n+1)}(\xi )$,

dove $\xi$ è un punto intermedio tra $\mathrm {a}$ ed $\mathrm {x}$.

Osservazione. Se ne deduce in tal caso

${\frac {1}{\lfloor {n+1}}}f^{(n+1)}(\xi )={\frac {f(x)}{(x-a)^{n-1}}}$.

Poichè $\lim _{x=a}\xi =a$ sarà, se $\mathrm {f^{(n+1)}(x)}$ è continua nel punto $\mathrm {a}$, e se $\mathrm {f(a)=f'(a)=...f^{(n)}(a)=0}$:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{(x-a)^{n+1}}}={\frac {f^{(n+1)}(a)}{\lfloor {n+1}}}$.

Questa formola vale anche nella ipotesi che esista la $(n+1)^{esima}$ derivata di $\mathrm {f(x)}$ nel punto $\mathrm {a}$ e sia determinata e finita (senza che sia necessario ammetterne la continuità). Infatti si trova, come sopra,

${\frac {f(x)}{(x-a)^{n+1}}}={\frac {f^{(n)}(x_{1})}{\lfloor {(n+1)}(x_{1}-a)}}$ ($x_{1}$ intermedio tra $a$ ed $x$).

Poichè $f^{(n)}(a)=0$, sarà, posto $x_{1}-a=h$,

${\frac {f(x)}{(x-a)^{n+1}}}={\frac {1}{\lfloor {n+1}}}{\frac {f^{(n)}(a+h)-f^{(n)}(a)}{h}}$.

Da cui, passando al limite per $h=0$, si trae subito il teorema enunciato.

In particolare, poichè ${\frac {1}{\lfloor {n+1}}}$ è positivo, e poichè ${\frac {f(x)}{(x-a)^{n+1}}}$ ha, per $x$ abbastanza prossimo ad $a$, il segno del suo limite per $x=a$, se ne deduce che, per $x$ prossimo ad $a$, la ${\frac {f(x)}{(x-a)^{n+1}}}$ ha il segno di $f^{(n+1)}(a)$, se questa derivata è determinata e finita e se $f(a)=f'(a)=...=f^{(n)}(a)=0$.

Posto $x=a+h$, si vede che, per $h$ abbastanza piccolo, nelle nostre ipotesi coincidono i segni di ${\frac {f(a+h)}{h^{n+1}}}$ e di $f^{(n+1)}(a)$, cioè coincidono i segni di $f(a+h)$ e di $h^{n+1}f^{(n+1)}(a)$.

Noi abbiamo dato in questo paragrafo un procedimento per calcolare il limite di un quoziente in qualche caso, in cui non sono applicabili i teoremi del § 35, pag. 115-116. Ad altri casi analoghi sono applicabili le seguenti osservazioni.