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CAPITOLO X.

SERIE DI POTENZE

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§66. — Cerchio di convergenza.

Diciamo serie di potenze' una serie del tipo

(1)     $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+.....+a_{n}x^{n}+.....$

dove le $a_{n}$ sono costanti, $x$ si considera variabile.

Non escludiamo che le $a,x$ possano anche essere numeri complessi. Tali serie sono la più naturale generalizzazione dei polinomi.

Teor. Se (1) converge per $\mathrm {x=\alpha \not =0}$, e se $\mathrm {\beta }$ è un numero positivo minore di $\mathrm {|\alpha |}$, allora la serie (1) converge totalmente nel campo definito dalla:

$|x|\leq \beta$.

Se (1) non converge per $\mathrm {x=A}$, essa non può convergere per nessun valore di x, di modulo superiore ad A.

Dem. Se (1) converge per $x=\alpha$ allora (§ 42, ε, pag. 142)

$\lim _{n=\infty }|a_{n}\alpha ^{n}|=0$.

Si potrà trovare un numero positivo $k$ maggiore di tutte le $|a_{n}\alpha ^{n}|$¹. Ora per $|x|\leq \beta$ si ha

$|a_{n}x^{n}|=\left|a_{n}\alpha ^{n}{\frac {x^{n}}{\alpha ^{n}}}\right|=|a_{n}\alpha ^{n}|\left|{\frac {x^{n}}{\alpha ^{n}}}\right|<k\left|{\frac {\beta }{\alpha }}\right|^{n}$.

Poichè $\left|{\frac {\beta }{\alpha }}\right|<1$, i termini di (1) hanno nel campo $|x|\leq \beta$ dei valori, il cui limite superiore non può superare rispettivamente $k,\,\left|{\frac {\beta }{\alpha }}\right|,\,k\left|{\frac {\beta }{\alpha }}\right|^{2},.....$; le quali costanti non sono che i

1. Infatti, preso un numero $\epsilon >0$ ad arbitrio, si troverà nu $m$ tale che per $n>m$ sia $|a_{n}\alpha ^{n}|<\epsilon$. Sarà soddisfatta la condizione del testo se si assume come numero $k$ un numero maggiore della pù grande tra le seguenti quantità:

   $|a_{0}|,|a_{1}\alpha |,|a_{2}\alpha _{2}|,.....,|a_{m}a^{m}|,\epsilon$.