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capitolo x — § 66

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termini di una progressione geometrica convergente. Quindi è dimostrata la prima parte del teorema.

E la seconda parte se ne deduce immediatamente. Se infatti (1) convergesse per un valore in modulo più grande di $A$, allora (1) sarebbe assolutamente convergente per $x=A$ (secondo quanto abbiamo ora dimostrato). Ciò che è contro l'ipotesi.

Sia $R$ il limite superiore dei moduli di quei valori di $x$ per cui la serie (1) converge. Sarà $R=0$ soltanto se (1) converge solo per il valore $x=0$. Sarà $R=\infty$ se esistono valori della $x$ in modulo grande a piacere, per cui la (1) converge.

Supponiamo $R\not =0,\,\infty$.

Sia $k$ un qualsiasi numero positivo minore di $R$. Esisterà un valore $x_{0}$ di $x$ tale che $k<|x_{0}|$, che $|x_{0}|<R$, e che per $x=x_{0}$ la (1) sia convergente. Per il nostro teorema la serie sarà totalmente convergente nel camp definito dalla $|x|\leq \,k$.

In modo analogo si prova che per un valore $x_{1}$ della $x$ tale che $|x_{1}|>R$ la serie (1) non converge.

Osserviamo che il luogo dei punti $x$ per cui $|x|\leq \,k$ è un cerchio per ha per centro l'origine e per raggio $k$.

Riassumento, concludiamo:

Per ogni serie (1) esiste un numero positivo R tale che, se x varia dentro un qualsiasi cerchio, che per centro l'origine e per raggio un numero k minore di R, ivi la serie è totalmente convergente

Invece la (1) non può convergere per i valori di x tali che il punto immagine sia esterno al cerchio che ha per centro l'origine e raggio R.

Questo cerchio (che ha per centro l'origine e per raggio $R$) si dirà il cerchio di convergenza di (1).

Nei punti interni la (1) converge, nei punti esterni non converge.

Naturalmente, se $R=0$m non si può parlare di cerchi interni al cerchio di convergenza (che è ridotto al solo centro). E, se $R=\infty$, non si può parlare di punti esterni al cerchio di convergenza. Salvo questa limitazione, il precedente teorema è vero in ogni caso.

Nulla si può dire in generale per il completamento di (1) sulla periferia del cerchio di convergenza.

Poichè $\sum a_{n}x^{n}$ converge e quindi ha uno e un solo valore per ogni numero $x$ realte o complesso, interno al cerchio di con-