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serie di potenze

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Condizione necessaria e sufficiente affinchè $\mathrm {f(x)}$ sia sviluppabile in un certo intervallo in serie di potenze è che la $\mathrm {f(x)}$ possegga ivi tutte le derivata e che il limite del resto $\mathrm {R_{n}}$ per $\mathrm {n=\infty }$ sia nullo¹.

Esistono formole notevoli, che permettono di scrivere $R_{n}$ sotto forma più semplice. La più importante per il teorico è la formola di Cauchy. La più semplice, che basta per noi, è dovuta a Lagrange. Di essa ora ci occuperemo, facendo la sola ipotesi che $f(x)$ in un intorno $\alpha$ possegga le prime $n+1$ derivate.

Se noi confrontiamo la (7) valida per ogni polinomio $P_{n}(x)$ col polinomio $P_{n}(x)$ definito in (8), troviamo che per questo polinomio valgono le:

$P_{n}(\alpha )=f(\alpha )$;  $P'_{n}(\alpha )=f'(\alpha )$;  $P''_{n}(\alpha )=f''_{n}(\alpha )$; ...;  $P_{n}^{(n)}(\alpha )=f^{(n)}(\alpha )$: cosicchè:

$R_{n}(\alpha )=0$  $R'_{n}(\alpha )=0$;  $R''_{n}(\alpha )=0$;  .....;  $R_{n}^{(n)}(\alpha )=0$; d'altra parte la $(n+1)^{esima}$ derivata di $P_{n}(x)$ è dappertutto nulla, perchè $P_{n}(x)$ è di grado $n$. E quindi si ha:

$R_{n}^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)$.

Applicando alla $R_{n}(x)$ il teorema di Lagrange del § 63, pag. 199, troviamo così:

(8^bis)     $R_{n}(x)={\frac {x-\alpha )^{n+1}}{\lfloor {n+1}}}R_{n}^{(n+1)}(\xi )={\frac {(x-\alpha )^{n+1}}{\lfloor {n+1}}}f^{(n+1)}(\xi )$, dove $\xi$ è un punto intermedio tra $\alpha$ ed $x$.

Notiamo le seguenti due forme, che si possono dare alle (8), (8^bis), ponendo $\alpha =0$, oppure $x=\alpha +h$:

$f(x)=f(0)+{\frac {x}{1}}f'(0)+{\frac {x^{2}}{\lfloor {2}}}f''(0)+...+{\frac {x^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n)}(0)+{\frac {x^{n+1}}{\lfloor {n+1}}}f^{(n+1)}(x\theta )$

$f(\alpha +h)=f(\alpha )+hf'(\alpha )+{\frac {h^{2}}{\lfloor {2}}}f''(\alpha )+.....$

$.....+{\frac {h^{n}}{\lfloor {n}}}f^{(n)}(\alpha )+{\frac {h^{n+1}}{\lfloor {n+1}}}f^{(n+1)}(\alpha +\theta \,h)$.

Formole tutte che valgono, purchè nell'intervallo considerato esistano e siano finite le prime $\mathrm {n+1}$ derivate di $\mathrm {f(x)}$.

1. Il teorema di Cauchy, citato in nota al § 66, ci dice che queste condizioni sarebbero certamente soddisfatte in un cerchio, se $\mathrm {f(x)}$ fosse funzione della variabile complessa x con derivata prima finita e continua!!.