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CAPITOLO XI.

MASSIMI, MINIMI, FLESSI

Osservazione. Lo studente, che segua contemporaneamente il corso di meccanica razionale, potrà dopo questo Capitolo studiare i paragrafi dedicati alle rette tangenti, ai cerchi osculatori, eccetera di una sghemba.

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§ 70. — Massimi e minimi (relativi).

α) Una prima applicazione della teoria della derivata è quella della ricerca dei massimi o dei minimi di una funzione.

Per un tale studio è opportuno però precisare un po' il significato della frase: punto di massimo o di minimo, con le seguenti definizioni. Diremo che (cfr. le definizioni del § 62, pag. 193):

Una funzione $\mathrm {f(x)}$ ha nel pnto $\mathrm {a}$, interno all'intervallo ove è definita la funzione, un massimo relativo, se esiste un numero $\mathrm {k}$ tale che in tutto l'intervallo $\mathrm {(a-k,a+k)}$ la funzione assume valori non maggiori di $\mathrm {f(a)}$, ossia se la differenza $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ è negativa nulla per $\mathrm {|h|\leq \,k}$.

Analogamente si dice che nel punto $\mathrm {a}$ la funzione ha un minimo relativo, se esiste un numero $\mathrm {k}$ tale che nell'intervallo $\mathrm {(a-k,a+k)}$ la funzione assume valori non minori di $\mathrm {f(a),}$ ossia se la differenza $\mathrm {(f(a+h)-f(a)}$ è positiva o nulla per $\mathrm {|h|\leq \,k}$.

La funzione $\mathrm {f(x)}$ si dice crescente nel punto $\mathrm {a}$, se esiste un numero $\mathrm {k>0}$ tale che la funzione assume in $\mathrm {(a,a+k)}$ valori maggiori che in $\mathrm {a}$ ed in $\mathrm {(a-k,a)}$ valori minori che in $\mathrm {a}$, ossia se $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ ha il segno di $\mathrm {h}$ per $\mathrm {|h|\leq \,k}$.

La funzione $\mathrm {f(x)}$ si dice decrescente nel punto $\mathrm {a}$, se esiste un numero $\mathrm {k>0}$ tale che la funzione assume in $\mathrm {(a,a+k)}$ valori minori che in $\mathrm {A}$ ed in $\mathrm {(a-h),a}$ valori maggiori che in $\mathrm {a}$, ossia se $\mathrm {f(a+h)-f(a)}$ ha segno opposto al segno di $\mathrm {a}$ per $\mathrm {|h|<k}$.

Talvola si dice senz'altro che un punto di massimo o di minimo relativo è un punto di massimo o di minimo¹.

È interessante osservare che esistono funzioni continue $f(x)$, le quali in un punto $x=a$ non hanno nè un massimo, nè un minimo realtivo, pure non essendo

1. Taluni chiamano un punto di $a$ punto di massimo soltanto se $f(a+h)-f(a)$ è positiva; un punto di minimo se $f(a+h)-f(a)$ è negativa (cfr. l'oss. al § 62, pag. 193).